タグ「側面」の検索結果

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津田塾大学 私立 津田塾大学 2016年 第2問
$1$辺の長さが$L \, \mathrm{cm}$の正六角形から図のように斜線部を取り除き,点線にそって${90}^\circ$折り曲げて,底面と側面だけからなる正六角柱の容器を作る.この容器の容積の最大値を求めよ.
(図は省略)
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第5問
$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし,$4$つの正三角形を側面とする正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある.$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OC}$を$4:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$,正の実数$r$に対して$\mathrm{OB}$を$1:r$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を計算せよ.答が$r$の有理式になる場合は,$1$つの既約分数式で解答せよ.
(2)線分$\mathrm{PR}$の中点を$\mathrm{M}$とする.$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行になる$r$を求めよ.
(3)$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行なとき,$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る平面$\alpha$で正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$を$2$つの多面体に切り分ける.このとき,$\alpha$による切り口の図形の面積,および,切り分けたうち頂点$\mathrm{O}$を含む多面体の体積を求めよ.
弘前大学 国立 弘前大学 2015年 第3問
側面の展開図が,半径$10$,中心角$x$の扇形である円錐を作る.この円錐の体積の最大値と,そのときの$x$の値を求めよ.ただし,$0^\circ<x<{360}^\circ$とする.
中京大学 私立 中京大学 2015年 第7問
底面が直径$D \, \mathrm{mm}$の円であり,高さが$22 \, \mathrm{mm}$の直円柱の容器がある.ただし,底面および側面の厚さは$0 \, \mathrm{mm}$としてよい.この容器に水を満杯に入れ,その上に半径$R=18 \, \mathrm{mm} (2R>D)$の球体を載せたところ,容器の水が溢れだした.その後,球体を取り除くと容器の水位が$5 \, \mathrm{mm}$低くなった.このとき,溢れだした水の体積は$D$を用いて$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}D^2 \pi \, \mathrm{mm}^3$と表すことができ,容器の底面の直径は$D=[ウエ] \sqrt{[オ]} \, \mathrm{mm}$である.
沖縄国際大学 私立 沖縄国際大学 2015年 第5問
以下の各問いに答えなさい.

(1)底面の直径が$6$,高さが$9$の直円錐がある.直円錐の内側に球を配置した.直円錐の底面と側面に球が接しているとき,この内接球の半径$r$を求めよ.
(2)線分$\mathrm{AB}$上に円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$が接しており,かつ,円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接している.線分$\mathrm{AB}$と円$\mathrm{O}_1$の接点を$\mathrm{P}$,線分$\mathrm{AB}$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする.このとき,円$\mathrm{O}_1$の半径を$7$,$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{7}$における円$\mathrm{O}_2$の半径$r$を求めよ.ただし,円$\mathrm{O}_2$の半径は円$\mathrm{O}_1$より小さいとする.
(3)三階建ての建物がある.図のように$3$階を$\mathrm{AB}$,$2$階を$\mathrm{CD}$,$1$階を$\mathrm{EF}$としたとき,$3$階から$1$階の通路を$\mathrm{AP}$,$1$階から$2$階の通路を$\mathrm{PD}$とする.このとき,点$\mathrm{P}$を$\mathrm{EF}$上で動かしたとき,$\mathrm{AP}$と$\mathrm{PD}$の通路の長さの合計が最も短くなるときの値($\mathrm{AP}+\mathrm{PD}$)を求めよ.ただし,$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{EF}=8$,$\mathrm{AC}=\mathrm{CE}=\mathrm{BD}=\mathrm{DF}=2$とする.
(図は省略)
岩手大学 国立 岩手大学 2014年 第1問
直円柱に対して,底面の半径を$x$,高さを$h$,表面積(側面積と$2$つの底面積の合計)を$S$,体積を$V$で表すことにする.ただし,$x>0$,$h>0$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$S$を$x$と$h$を用いて表せ.
(2)$h$を$x$と$S$を用いて表せ.また,$V$を$x$と$S$を用いて表せ.
(3)$S$が一定のもとで,$V$が最大になるときの$x$の値を求めよ.
(4)$S$が一定のもとで,$V$が最大になるときの$x$と$h$の比,すなわち$x:h$を求めよ.
神戸薬科大学 私立 神戸薬科大学 2014年 第6問
底面が半径$1$の円である円錐$S$と,$S$と相似であるが半径が不明な円錐$L$がある.

(1)$S$と$L$の表面積の比が$1:12$のとき$L$の底面の半径を求めると$[チ]$である.
(2)$(1)$の条件のもとで,$L$の高さが$6$のとき,$L$に側面と底面で内接する球の半径を求めると$[ツ]$であり,その球の体積を求めると$[テ]$となる.
上智大学 私立 上智大学 2014年 第2問
座標空間の原点$\mathrm{O}$を通りベクトル$(1,\ \sqrt{3},\ 2 \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とし,点$\mathrm{A}$の座標を$(\sqrt{3}+3,\ 3 \sqrt{3}+3,\ 6-2 \sqrt{3})$とする.このとき,$\mathrm{O}$を頂点とする円錐$C$は,底面の中心$\mathrm{H}$が$\ell$上にあり,底面の円周が$\mathrm{A}$を通るとする.

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{AOH}=\frac{[コ]}{[サ]}\pi$である.ただし,$0 \leqq \angle \mathrm{AOH}<\pi$とする.
(2)$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \sqrt{[シ]},\ [ス],\ [セ] \right) \]
である.
(3)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の底面上(境界を含む)にあるとき,常に
\[ y+[ソ]z+[タ]=0 \]
が成り立つ.
(4)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の側面上(境界を含む)にあるとき,常に
\[ [チ]y^2+[ツ]yz+[テ]z^2+[ト]y+[ナ]z+21=0 \]
が成り立つ.また,このときの$z$の最大値は
\[ [ニ]+\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]} \]
である.
岐阜薬科大学 公立 岐阜薬科大学 2014年 第3問
図のような底面が正六角形で側面がすべて長方形である六角柱$\mathrm{ABCDEF}$-$\mathrm{GHIJKL}$において,$\mathrm{AB}=4$,$\mathrm{AG}=3$であるとき,次の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)$\mathrm{EG}$の長さを求めよ.
(2)$\triangle \mathrm{BEG}$の面積を求めよ.
(3)点$\mathrm{F}$から$\triangle \mathrm{BEG}$に下した垂線の長さを求めよ.
佐賀大学 国立 佐賀大学 2013年 第3問
$x$軸,$y$軸,$z$軸を座標軸,原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において,$z$軸 \\
を中心軸とする半径$1$の円柱を考える.次に,$x$軸を含み$xy$平面と \\
のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$となる平面を$\alpha$とし,平面$\alpha$による円柱の切り口の \\
曲線を$C$とする.また,点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$とする.さらに,曲線$C$上 \\
の点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし,$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$ \ \\
$(0 \leqq \theta<2\pi)$とする.このとき,次の問に答えよ.
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(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{A}$を通り$z$軸に平行な直線を$\ell$とする.$\ell$によって円柱の側面を切り開いた展開図の上に,曲線$C$の概形をかけ.
(3)図のように,平面$\alpha$と$yz$平面の交線を$Y$軸とする.$xY$平面における曲線$C$の方程式を求め,その概形をかけ.
(図は省略)
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