$\displaystyle y=\log_{\frac{1}{2}}(x+\sqrt{2}) (0 \leqq x \leqq \sqrt{2})$の値域を求めなさい．

$x$の$2$次関数$y=x^2-4kx-k^2+12k-2$について考える．

(1)この関数のグラフの軸は直線$x=[ア][イ]k$である．また，この関数の最小値は$-[ウ][エ]k^2+12k-2$である．
(2)この関数の定義域を$1 \leqq x \leqq 5$とし，$k=-1$とすると，この関数の値域は$-[オ][カ] \leqq y \leqq [キ][ク]$である．
(3)この関数の定義域を$x \leqq 2$とすると，この関数の最小値は$k=[ケ][コ]$のときに最大となる．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=ax+b (-1 \leqq x \leqq 2)$の値域が$1 \leqq y \leqq 7$となるような定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(2)次の$2$次関数の頂点の座標を求めよ．

\mon[$①$] $y=2x^2+12x+16$
\mon[$②$] $y=-2x^2+4x+3$

(3)$2$次方程式$x^2-2mx+4m-3=0$が異なる$2$つの実数解を持たない定数$m$の範囲を求めよ．

$-2 \leqq t \leqq 2$のとき$x=t^2+t=f(t)$とする．

(1)$x$の値域を求めよ．
(2)$y=g(x)=-x^2+3x+1$の値域を求めよ．
(3)$\displaystyle z=h(y)=\frac{1}{2}y^2-4y$の値域を求めよ．

次の関数を考える．

$f_1(x)=x$，$f_2(x)=x+1$，$f_3(x)=x-1$，$f_4(x)=x^2-1 (x \leqq 0)$，
$\displaystyle f_5(x)=\frac{1}{1-x}$，$\displaystyle f_6(x)=\frac{x}{1-x}$，$\displaystyle f_7(x)=\frac{x}{x+1}$，$\displaystyle f_8(x)=\sqrt{x+1}$，
$f_9(x)=-\sqrt{x+1}$

(1)${f_4}^{-1}(x)=f_{[ア]}(x)$であり，${f_6}^{-1}(x)=f_{[イ]}(x)$である．
(2)$(f_2 \circ f_3)(x)=f_{[ウ]}(x)$，$(f_3 \circ f_5)(x)=f_{[エ]}(x)$であり，
$(f_2 \circ f_{[エ]})(x)=f_{[オ]}(x)$である．
(3)合成関数$y=(f_6 \circ f_9)(x)$の定義域は$x \geqq [カキ]$であり，値域は$[クケ]<y \leqq [コ]$である．

関数$y=f(x)$の定義域は$x \geqq 1$であり，すべての正の整数$n$に対し，

$n \leqq x<n+1$のとき，$f(x)=(-1)^n (x^2-5x)$

が成り立っている．

(1)関数$y=-x^2+5x (1 \leqq x<2)$の値域を求めよ．
(2)$f(a)=-4$であるような実数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$1 \leqq x<6$における関数$y=f(x)$の最大値，最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$2x^2+3x-4=0$の解は$[$1$]$である．
(2)$a,\ b$を定数とし，$a>0$とする．$1$次関数$y=ax+b (-1 \leqq x \leqq 5)$の値域が$-2 \leqq y \leqq 2$であるとき，$a,\ b$の値は$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)放物線$y=x^2+x+2$と直線$y=ax-a$が共有点をもたないような定数$a$の値の範囲は$[$4$]$である．
(4)多項式$P(x)=x^3+ax^2+2x+5a$を$x-3$で割った余りが$5$であるとき，定数$a$の値は$[$5$]$であり，商は$[$6$]$である．
(5)半径$r$の円$x^2+y^2=r^2$と直線$4x+3y-5=0$が接するとき，$r=[$7$]$である．また，接点の座標は$[$8$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$，$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$のとき，$\cos A$の値は$[$9$]$，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$10$]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[$11$]$である．

$2$次関数$y=ax^2+bx+12 (a \neq 0)$のグラフがある．この関数のグラフの軸は，直線$x=-2$であるとする．

(1)この関数のグラフが点$(2,\ 0)$を通るならば，頂点の$y$座標は$[][]$である．
(2)定義域$-3 \leqq x \leqq 2$に対する値域が$-4 \leqq y \leqq 60$ならば，$a=[][]$，$b=[][]$である．
(3)このグラフを$y$軸方向に$-4$だけ平行移動させたとき$x$軸と接するならば，$a=[][]$，$b=[][]$である．

$a,\ b$を$a^2b^3=64$を満たす正の実数とする．

(1)$(\log_2a)^2+\log_2b$の値が最小となるときの$a,\ b$の値は$a=[ツ]$，$b=[テ]$である．
(2)$c=b^{\log_2a+1}$とおく．$\log_2a=t$とおくとき，$\log_2c$は$t$を用いて$\log_2c=[ト]$と表される．$t$の関数$f(t)$を$f(t)=[ト]$と定めるとき，関数$f(t)$の最大値は$[ナ]$である．
(3)$k,\ l$を$0<k<1<l$を満たす実数とする．$(2)$で定めた関数$f(t)$の定義域を$k \leqq t \leqq l$としたとき，値域は$k \leqq f(t) \leqq l$になった．このとき，$k,\ l$の値は，$k=[ニ]$，$l=[ヌ]$である．

座標平面上の点$(x,\ y)$に対し，
\[ y=2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1 \cdots\cdots① \]
が成立している．

(1)$①$の定義域は$[ア] \leqq x \leqq [イ]$，値域は$[ウ] \leqq y \leqq [エ]$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$([オ],\ [カ] \pm \sqrt{[キ]})$にとると，$①$のグラフ上の任意の点$\mathrm{P}$に対し，常に$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=[ク]$が成り立つ．
(3)直線$y=x+k$が$①$のグラフと共有点を持つような定数$k$の範囲は
\[ [ケコ] \leqq k \leqq [サシ]+\sqrt{[ス]} \]
である．
(4)不等式$x-1 \leqq 2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1$の解は
\[ [セ] \leqq x \leqq [ソ]+\frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]} \]
である．