「倍数」について
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国立 千葉大学 2014年 第1問袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．
(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．
(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．
(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．
(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．
(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．
私立 福岡大学 2014年 第3問$1,\ 2,\ 3,\ 4$の$4$個の数字を使って，$3$桁の数を作る．このとき，各桁の数字が異なり，$3$の倍数となる数は$[ ]$個ある．また，各桁の数字に重複を許すとき，$3$の倍数となる数は$[ ]$個ある．
私立 福岡大学 2014年 第4問$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$個の数字を使って，$4$桁の数を作る．このとき，各桁の数字が異なり，$3$の倍数となる数は$[ ]$個ある．また，各桁の数字に重複を許すとき，$3$の倍数となる数は$[ ]$個ある．
私立 近畿大学 2014年 第3問一般項が
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{13}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n \right\} \]
で与えられた数列$\{a_n\}$を考える．
(1)この数列の初項$a_1$の値は$[ア]$，第$2$項$a_2$の値は$[イ]$である．
(2)この数列は，漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす．
(3)この数列の第$7$項$a_7$の値は$[エオ]$である．
(4)この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．このとき
\[ a_{n+2}=[カ]+[キ]S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．
(5)この数列には，$1$桁の素数$[ク]$の倍数は現れない．
(6)$(4)$で与えられた$S_n$が$10000$以上となるような最小の$n$の値は$[ケコ]$である．
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{13}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n \right\} \]
で与えられた数列$\{a_n\}$を考える．
(1)この数列の初項$a_1$の値は$[ア]$，第$2$項$a_2$の値は$[イ]$である．
(2)この数列は，漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす．
(3)この数列の第$7$項$a_7$の値は$[エオ]$である．
(4)この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．このとき
\[ a_{n+2}=[カ]+[キ]S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．
(5)この数列には，$1$桁の素数$[ク]$の倍数は現れない．
(6)$(4)$で与えられた$S_n$が$10000$以上となるような最小の$n$の値は$[ケコ]$である．
私立 津田塾大学 2014年 第1問次の問に答えよ．
(1)$1$個のサイコロを$3$回投げるとき，出た目の数の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle {\left( \frac{1+\sqrt{3}i}{2} \right)}^{2014}$の値を求めよ．
(1)$1$個のサイコロを$3$回投げるとき，出た目の数の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle {\left( \frac{1+\sqrt{3}i}{2} \right)}^{2014}$の値を求めよ．
私立 安田女子大学 2014年 第2問$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定は何か．
(2)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定の条件を満たす$n$のうち，小さい方から$4$番目の値を求めよ．
(3)$20$以下の自然数$n$の中で，次の個数を求めよ．「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」
(1)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定は何か．
(2)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定の条件を満たす$n$のうち，小さい方から$4$番目の値を求めよ．
(3)$20$以下の自然数$n$の中で，次の個数を求めよ．「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」
私立 安田女子大学 2014年 第2問$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定は何か．
(2)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定の条件を満たす$n$のうち，小さい方から$4$番目の値を求めよ．
(3)$20$以下の自然数$n$の中で，次の個数を求めよ．「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」
(1)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定は何か．
(2)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定の条件を満たす$n$のうち，小さい方から$4$番目の値を求めよ．
(3)$20$以下の自然数$n$の中で，次の個数を求めよ．「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」
私立 安田女子大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{8} \right) \div 0.25$を計算せよ．
(2)$200$以下の自然数のうち，$3$の倍数でも$7$の倍数でもないものはいくつあるか答えよ．
(3)ある縮尺の地図上で，たて$x \, \mathrm{cm}$，よこ$y \, \mathrm{cm}$で表される長方形の土地がある．この土地の実際の面積が$z \, \mathrm{m}^2$のとき，この地図の縮尺を求めよ．
(4)$x$に関する方程式$kx^2+kx+1=0$が実数解を持たない場合の，$k$の最大値を求めよ．ただし，$k$は整数とする．
(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{8} \right) \div 0.25$を計算せよ．
(2)$200$以下の自然数のうち，$3$の倍数でも$7$の倍数でもないものはいくつあるか答えよ．
(3)ある縮尺の地図上で，たて$x \, \mathrm{cm}$，よこ$y \, \mathrm{cm}$で表される長方形の土地がある．この土地の実際の面積が$z \, \mathrm{m}^2$のとき，この地図の縮尺を求めよ．
(4)$x$に関する方程式$kx^2+kx+1=0$が実数解を持たない場合の，$k$の最大値を求めよ．ただし，$k$は整数とする．
私立 大同大学 2014年 第1問次の$[ア]$から$[ネ]$までの$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．
(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．
(1)$36+2 \sqrt{155}={(\sqrt{[ア][イ]}+\sqrt{[ウ]})}^2$であり，
\[ \frac{1}{\sqrt{36+2 \sqrt{155}}}+\frac{1}{\sqrt{36-2 \sqrt{155}}}=\frac{\sqrt{[エ][オ]}}{[カ][キ]} \]
である．
(2)放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が$x$軸の負の部分および正の部分と交わるような$k$の範囲は$\displaystyle -[ク]<k<\frac{[ケ]}{[コ]}$である．この範囲で$k$が動くとき，放物線$y=4x^2-4kx+5k^2+19k-4$が切り取る$x$軸上の線分の長さの最大値は$\displaystyle \frac{[サ] \sqrt{[シ][ス]}}{[セ]}$である．
(3)$3$桁の整数で$3$の倍数は，全部で$[ソ][タ][チ]$個ある．$3$桁の整数で各位の数の和が$k$であるものの個数を$n(k)$とする（たとえば，$3$桁の整数で各位の数の和が$2$であるものは$101$，$110$，$200$の$3$個であるから，$n(2)=3$である）．このとき，$n(3)=[ツ]$，$n(27)=[テ]$，$n(24)=[ト][ナ]$であり，$n(6)+n(9)+n(12)+n(15)+n(18)+n(21)=[ニ][ヌ][ネ]$である．
私立 大同大学 2014年 第6問次の$[ノ]$から$[リ]$までの$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．
(1)$1$つのさいころを$3$回続けて投げるとき，出た目が$3$回とも同じである確率は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ][ヒ]}$，$3$回とも異なる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり，$3$回のうち$2$回は同じで$1$回だけ他と異なる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ][ミ]}$である．
(2)$a,\ b$を自然数とし，$x$を実数とするとき，以下の$[ム]$から$[リ]$の$[ ]$に入る正しい記述を次の$①$～$④$の中から選び，その番号を記述せよ．
\mon[$①$] 必要十分条件である
\mon[$②$] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[$③$] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない
(i) $a$が$2$の倍数であることは，$a^2$が$2$の倍数であるための$[ム]$
(ii) $a$が$4$の倍数であることは，$a^2$が$4$の倍数であるための$[メ]$
(iii) $a$が$4$の倍数であることは，$a^2$が$8$の倍数であるための$[モ]$
\mon[$\tokeishi$] $a$が$2$の倍数または$b$が$2$の倍数であることは，$ab$が$6$の倍数であるための$[ヤ]$
\mon[$\tokeigo$] $a$が$2$の倍数または$b$が$3$の倍数であることは，$ab$が$6$の倍数であるための$[ユ]$
\mon[$\tokeiroku$] $x^2+x-2=0$は，$x=1$であるための$[ヨ]$
\mon[$\tokeishichi$] $x>2$は，$x^2+3x-4>0$であるための$[ラ]$
\mon[$\tokeihachi$] $x^2 \leqq x+6$は，$x<3$であるための$[リ]$
(1)$1$つのさいころを$3$回続けて投げるとき，出た目が$3$回とも同じである確率は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ][ヒ]}$，$3$回とも異なる確率は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり，$3$回のうち$2$回は同じで$1$回だけ他と異なる確率は$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ][ミ]}$である．
(2)$a,\ b$を自然数とし，$x$を実数とするとき，以下の$[ム]$から$[リ]$の$[ ]$に入る正しい記述を次の$①$～$④$の中から選び，その番号を記述せよ．
\mon[$①$] 必要十分条件である
\mon[$②$] 必要条件であるが十分条件でない
\mon[$③$] 十分条件であるが必要条件でない
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない
(i) $a$が$2$の倍数であることは，$a^2$が$2$の倍数であるための$[ム]$
(ii) $a$が$4$の倍数であることは，$a^2$が$4$の倍数であるための$[メ]$
(iii) $a$が$4$の倍数であることは，$a^2$が$8$の倍数であるための$[モ]$
\mon[$\tokeishi$] $a$が$2$の倍数または$b$が$2$の倍数であることは，$ab$が$6$の倍数であるための$[ヤ]$
\mon[$\tokeigo$] $a$が$2$の倍数または$b$が$3$の倍数であることは，$ab$が$6$の倍数であるための$[ユ]$
\mon[$\tokeiroku$] $x^2+x-2=0$は，$x=1$であるための$[ヨ]$
\mon[$\tokeishichi$] $x>2$は，$x^2+3x-4>0$であるための$[ラ]$
\mon[$\tokeihachi$] $x^2 \leqq x+6$は，$x<3$であるための$[リ]$