「倍数」について
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国立 富山大学 2014年 第2問$p$を素数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数$k$が$1 \leqq k \leqq p-1$を満たすとき，$\comb{p}{k}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{k}$は$p$個のものから$k$個取った組合せの総数である．
(2)$n$を自然数とするとき，$n$に関する数学的帰納法を用いて，$n^p-n$は$p$で割り切れることを示せ．
(3)$n$が$p$の倍数でないとき，$n^{p-1}-1$は$p$で割り切れることを示せ．
(1)自然数$k$が$1 \leqq k \leqq p-1$を満たすとき，$\comb{p}{k}$は$p$で割り切れることを示せ．ただし，$\comb{p}{k}$は$p$個のものから$k$個取った組合せの総数である．
(2)$n$を自然数とするとき，$n$に関する数学的帰納法を用いて，$n^p-n$は$p$で割り切れることを示せ．
(3)$n$が$p$の倍数でないとき，$n^{p-1}-1$は$p$で割り切れることを示せ．
国立 大分大学 2014年 第3問$100$から$999$までの自然数の集合を全体集合$U$とし，そのうち$14$で割ると$3$余るものの集合を$A$，$9$の倍数の集合を$B$とおく．
(1)$A,\ B$の要素の個数を求めなさい．
(2)$A \cap B$の要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)$U$の要素が$1$つずつ書かれた玉の入った袋から玉を$2$個取り出す．このとき，$2$個の玉に書かれている数がいずれも$14$で割ると$3$余り，かつ$9$で割り切れない場合の確率を求めなさい．
(1)$A,\ B$の要素の個数を求めなさい．
(2)$A \cap B$の要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)$U$の要素が$1$つずつ書かれた玉の入った袋から玉を$2$個取り出す．このとき，$2$個の玉に書かれている数がいずれも$14$で割ると$3$余り，かつ$9$で割り切れない場合の確率を求めなさい．
国立 大分大学 2014年 第4問$100$から$999$までの自然数の集合を全体集合$U$とし，そのうち$14$で割ると$3$余るものの集合を$A$，$9$の倍数の集合を$B$とおく．
(1)$A,\ B$の要素の個数を求めなさい．
(2)$A \cap B$の要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)$U$の要素が$1$つずつ書かれた玉の入った袋から玉を$2$個取り出す．このとき，$2$個の玉に書かれている数がいずれも$14$で割ると$3$余り，かつ$9$で割り切れない場合の確率を求めなさい．
(1)$A,\ B$の要素の個数を求めなさい．
(2)$A \cap B$の要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)$U$の要素が$1$つずつ書かれた玉の入った袋から玉を$2$個取り出す．このとき，$2$個の玉に書かれている数がいずれも$14$で割ると$3$余り，かつ$9$で割り切れない場合の確率を求めなさい．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 福井大学 2014年 第2問$1$から$7$までの数を$1$つずつ書いた$7$個の玉が，袋の中に入っている．袋から玉を$1$個取り出し，書かれている数を記録して袋に戻す．この試行を$n$回繰り返して得られる$n$個の数の和が$4$の倍数となる確率を$p_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$p_1$と$p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$の式で表せ．
(3)$p_n$を求めよ．また極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．
(1)$p_1$と$p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$の式で表せ．
(3)$p_n$を求めよ．また極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．
国立 島根大学 2014年 第4問$a,\ b,\ c,\ n$を自然数とし，$a \leqq b \leqq c$かつ$n(a+b+c)=abc$をみたすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a=b=c$のとき，$n$は$3$の倍数であることを示せ．
(2)$n=3$のとき，自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
(1)$a=b=c$のとき，$n$は$3$の倍数であることを示せ．
(2)$n=3$のとき，自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
国立 東京海洋大学 2014年 第5問次の問に答えよ．
(1)$x^2+4y^2=9z^2$をみたす自然数$x,\ y,\ z$があれば$x$と$y$はいずれも$3$の倍数であることを示し，$x^2+4y^2=9z^2$をみたす自然数$x,\ y,\ z$の例を挙げよ．
(2)$x^3+4y^3=9z^3$をみたす自然数$x,\ y,\ z$は存在しないことを示せ．
(1)$x^2+4y^2=9z^2$をみたす自然数$x,\ y,\ z$があれば$x$と$y$はいずれも$3$の倍数であることを示し，$x^2+4y^2=9z^2$をみたす自然数$x,\ y,\ z$の例を挙げよ．
(2)$x^3+4y^3=9z^3$をみたす自然数$x,\ y,\ z$は存在しないことを示せ．
国立 千葉大学 2014年 第3問$p$は奇数である素数とし，$N=(p+1)(p+3)(p+5)$とおく．
(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ．
(2)$N$が$144$の倍数になるような$p$の値を，小さい順に$5$つ求めよ．
(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ．
(2)$N$が$144$の倍数になるような$p$の値を，小さい順に$5$つ求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第1問袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．
(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．
(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．
(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．
(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．
(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．