次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)整式$P(x)$は$(x-2)(x+3)$で割ると余りは$5x-2$であり，$(x-2)(x-3)$で割ると余りは$-x+10$である．このとき，$P(x)$を$(x+3)(x-3)$で割ると余りは$([ア])x+([イ])$である．
(2)初項が$a_1=-24$で公差が$12$の等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[ウ]$である．また，数列$\{b_n\}$の初項$b_1$から第$n$項までの和$T_n$が$T_n=5^n-1$のとき，一般項は$b_n=[エ]$である．このとき，初項が$c_1=-1$で漸化式
\[ c_{n+1}=c_n+S_n-b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まる数列$\{c_n\}$の一般項は$c_n=[オ]$である．
(3)曲線$C:y=|x^2-4x-5|$と直線$\ell:y=k$の共有点の個数は$3$個である．このとき，実数$k$の値は$k=[カ]$であり，直線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形の面積は$[キ]$である．
(4)$1$個のサイコロを$3$回投げる．出た目の最大値が$5$となる確率は$[ク]$である．出た目の最大値が$5$，かつ最小値が$1$となる確率は$[ケ]$である．$3$つの出た目の積が$2$の倍数であり，かつ$3$の倍数でない確率は$[コ]$である．

次の問について，答えを$[　]$内に記入せよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$2 \sin^2 x+\sin 2x$は$x=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)$1$から$9$までの数を$1$つずつ書いた$9$枚の札の中から，同時に$3$枚を引く．その$3$枚の札の数の積が，偶数になる確率は$[ウ]$であり，$6$の倍数になる確率は$[エ]$である．

$1$から$7$までの番号を$1$つずつ書いた$7$枚のカードが袋の中に入っている．無作為に同時に$3$枚のカードを取り出し，その番号を$x,\ y,\ z$（ただし$x<y<z$）とおく．

(1)$3$つの番号の積$xyz$が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(2)$3$つの番号の積$xyz$が奇数になる確率を求めよ．
(3)$x=3$となる確率を求めよ．
(4)$z \geqq 5$となる確率を求めよ．

次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．

(1)$4$桁の自然数$54 \mkakko{} 4$が$9$の倍数であるとき，$\mkakko{}$に入る数は$[$37$]$である．また，この$4$桁の自然数が$3$の倍数であるとき，$\mkakko{}$に入る最大の数は$[$38$]$である．
(2)$180$の正の約数の個数は$[$39$]$個である．$180$と$80$の最大公約数を$A$，最小公倍数を$B$とすると$A=[$40$]$，$B=A \times [$41$]$である．
(3)$a,\ b$は自然数とする．$a$を$7$で割ると$1$余り，$a^2+b$を$7$で割ると$6$余る．このとき，$b$を$7$で割ると$[$42$]$余る．

$500$から$1000$までの整数を全体集合とするとき，次の設問に答えよ．

(1)$2$の倍数となる整数の集合に含まれる要素の個数を求めよ．
(2)$5$の倍数となる整数の集合に含まれる要素の個数を求めよ．
(3)$2$の倍数または$5$の倍数である整数の集合に含まれる要素の個数を求めよ．
(4)$2$の倍数でなく$5$の倍数でもない整数の集合に含まれる要素の個数を求めよ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B} \, 2$つのサイコロを転がしたときの出目について，次の設問に答えよ．

(1)出目の和が$7$である確率を求めよ．
(2)$2$つのサイコロの出目がどちらも$3$より大きい確率を求めよ．
(3)少なくともどちらか一方の出目が$2$よりも大きい確率を求めよ．
(4)$\mathrm{A}$の出目が$5$以上かまたは$\mathrm{B}$の出目が$2$の倍数となっている確率を求めよ．

ハートの$1$から$13$までの合計$13$枚のトランプがある．このトランプについて，次の確率を求めよ．

(1)ここから$1$枚抜くとき，$3$の倍数が出る確率．
(2)ここから$2$枚同時に抜くとき，$2$枚とも$3$の倍数である確率．
(3)ここから$2$枚同時に抜くとき，この$2$枚のうち$1$枚だけは$3$の倍数である確率．
(4)ここから$2$枚同時に抜くとき，この$2$枚のうち少なくとも$1$枚は$3$の倍数以外である確率．

次の各問に答えよ．

(1)$1$個のさいころを振る試行を繰り返す．出た目の和が$6$以上になったら，この試行を終了する．

(i) $3$回目に和がちょうど$6$になってこの試行を終了する確率を求めよ．
(ii) この試行が$3$回以内に終了する確率を求めよ．

(2)等差数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の一般項が，それぞれ$a_n=3n-2$，$b_n=7n+4$であるとき，この$2$つの数列に共通な項を小さい方から順に並べてできる数列を$\{c_n\}$とする．次の各問に答えよ．

(i) 数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(ii) 数列$\{c_n\}$の項のうち，$4$の倍数でかつ$3$桁の整数となる項の数とその総和を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の二人がそれぞれサイコロを投げ，出た目を$1$回毎に記録する．$\mathrm{A}$はそれまでに出た目の積が$3$の倍数になった時点で，$\mathrm{B}$はそれまでに出た目の和が$3$の倍数になった時点で試行を打ち切る．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の試行がちょうど$n$回目で打ち切られる確率をそれぞれ$a_n$，$b_n$とする．

(1)$\displaystyle a_1=\frac{[さ]}{[し]},\ b_1=\frac{[す]}{[せ]}$である．

(2)$\displaystyle a_n=\frac{[そ]}{[た]} \left( \frac{[ち]}{[つ]} \right)^{n-1}$である．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$は$a^2=2b$を満たす自然数とする．このとき，$a$は偶数であることを，背理法を用いて証明せよ．
(2)$c,\ d,\ e$は$c^2+d^2=3e$を満たす自然数とする．このとき，$c,\ d,\ e$はいずれも$3$の倍数であることを証明せよ．
(3)すべての自然数$n$に対して$n^{19}-n$を$19$で割った余りは$0$であることを証明せよ．