$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く．

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．

命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．

$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．

このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．

百の位が$X$で十の位が$Y$で一の位が$Z$である三けたの数を$(XYZ)$で表すことにする．サイコロを投げるとき，$1$から$6$までの$6$通りのうちいずれかの目が出て，どの目が出ることも同様に確からしいとする．このサイコロを$3$回投げ，出た目の数を順に$A,\ B,\ C$とする．このとき下記の設問に答えよ．

(1)$(ABC)$が$4$の倍数になる確率を求めよ．
(2)$(ABC)$，$(ACB)$，$(BAC)$，$(BCA)$，$(CAB)$，$(CBA)$のいずれもが$4$の倍数にならない確率を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$が正の偶数のとき，$2^n-1$は$3$の倍数であることを示せ．
(2)$n$を自然数とする．$2^n+1$と$2^n-1$は互いに素であることを示せ．
(3)$p,\ q$を異なる素数とする．$2^{p-1}-1=pq^2$を満たす$p,\ q$の組をすべて求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$が正の偶数のとき，$2^n-1$は$3$の倍数であることを示せ．
(2)$p$を素数とし，$k$を$0$以上の整数とする．$2^{p-1}-1=p^k$を満たす$p,\ k$の組をすべて求めよ．

$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．

(1)$2$の倍数の個数
(2)$9$の倍数の個数
(3)$22000$以上の整数の個数

$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．

(1)$2$の倍数の個数
(2)$9$の倍数の個数
(3)$22000$以上の整数の個数

次の問いに答えよ．

(1)$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．

(i) $2$の倍数の個数
(ii) $9$の倍数の個数
(iii) $22000$以上の整数の個数

(2)前問と同じ方式で$5$桁の整数を独立に$2$個作り，それらを$m,\ n$とするとき，$m \leqq n$となる$(m,\ n)$の組の個数を求めよ．

$1$から$9$までの番号が書かれた球が$1$個ずつ計$9$個ある．これらの球を$3$個ずつ$3$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に入れる．次のような球の入れ方は何通りか．

(1)箱$\mathrm{A}$にある球の番号がいずれも$3$の倍数になる．
(2)箱$\mathrm{A}$にある$3$個の球の番号を$3$で割った余りがいずれも異なる．
(3)箱$\mathrm{A}$にある$3$個の球の番号の和が$3$の倍数になる．
(4)いずれの箱についても$3$個の球の番号の和が$3$の倍数になる．

$1$から$10$までの番号が書かれた球が$1$個ずつ計$10$個ある．これらの球を$3$個ずつ$3$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に入れて，残った球の番号を$a$とする．次のような球の入れ方は何通りか．

(1)$a=5$であって，箱$\mathrm{A}$にある球の番号がいずれも$3$の倍数になる．
(2)$a=10$であって，箱$\mathrm{A}$にある$3$個の球の番号の和が$3$の倍数になる．
(3)いずれの箱についても$3$個の球の番号の和が$3$の倍数になる．

$20$枚のカードに$1$から$20$までの自然数が$1$つずつ書かれている．この中からカードを$3$枚同時に取り出すとき，次の問に答えよ．

(1)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(2)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の和が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の最小公倍数が$10$以下になる確率を求めよ．ただし，$2$つ以上の自然数に共通な正の倍数のうちで最小のものを最小公倍数という．