次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$が$n=p^2q$（$p,\ q$は素数，$p \neq q$）の形で表されるとき，$n$の正の約数は$6$個あり，それらの和は
\[ ([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
と表すことができる．このような$n$で正の約数の和が$2n$となるような数を求める．正の約数の和が$2n$であるから，
\[ 2p^2q=([ク]+p+p^2)([ケ]+q) \]
が成り立つ．$[ク]+p+p^2$は奇数であり，$p$の倍数ではないから，$[ケ]+q$は$2p^2$の倍数となり，
\[ [ケ]+q=2p^2k \quad (k \text{は自然数}) \]
とおける．したがって，
\[ q=([ク]+p+p^2)k \]
となるが，$q$は素数であるから，$k=[コ]$である．よって
\[ p^2-p-[サ]=0 \]
これを解いて，$p=[シ]$である．ゆえに$n=[ス]$である．
(2)条件
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められる数列$\{a_n\}$に対して，$\displaystyle b_n=\frac{a_n-2}{a_n+1}$とおくと，数列$\{b_n\}$は等比数列となり，これより，数列$\{a_n\}$の一般項は
\[ a_n=\frac{[セ] \cdot [ソ]^n+[タ]}{[チ]^n-[ツ]} \]
となる．

次の命題の真偽を述べよ．また，真であるときは証明し，偽であるときは反例（成り立たない例）をあげよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$n$は自然数とする．

(1)$x$が無理数ならば，$x^2$と$x^3$の少なくとも一方は無理数である．
(2)$x+y,\ xy$がともに有理数ならば，$x,\ y$はともに有理数である．
(3)$n^2$が$8$の倍数ならば，$n$は$4$の倍数である．

次の各問に答えよ．

(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\ a_2=1,\ a_{n+2}=7a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．次の問いに答えよ．

(1)$a_{n+3}$を$a_n,\ a_{n+1}$で表せ．
(2)$a_{3n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が偶数であることを数学的帰納法で証明せよ．
(3)$a_{4n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が3の倍数となることを示せ．

スペードの$1$から$9$までのトランプが$9$枚ある．この$9$枚のトランプから無作為に，$3$枚同時に取り出す．取り出したトランプの数のうち最も小さな数を$a$，最も大きな数を$b$とする．また，$3$つの数の積を$X$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)$a,\ b$それぞれの期待値を求めよ．
(2)$X$が$5$の倍数である確率を求めよ．
(3)$X$が$10$の倍数である確率を求めよ．
(4)$X$が$6$の倍数である確率を求めよ．