$a,\ b$を自然数とする．以下の問に答えよ．

(1)$ab$が3の倍数であるとき，$a$または$b$は3の倍数であることを示せ．
(2)$a+b$と$ab$がともに3の倍数であるとき，$a$と$b$はともに3の倍数であることを示せ．
(3)$a+b$と$a^2 +b^2$がともに3の倍数であるとき，$a$と$b$はともに3の倍数であることを示せ．

1から$n$までの数字がもれなく一つずつ書かれた$n$枚のカードの束から同時に2枚のカードを引く．このとき，引いたカードの数字のうち小さいほうが3の倍数である確率を$p(n)$とする．

(1)$p(8)$を求めよ．
(2)正の整数$k$に対し，$p(3k +2)$を$k$で表せ．

$k$を正の整数とし，$a_1=k,\ a_{n+1}=2a_n+1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)すべての$n$に対して，$a_{n+4}-a_n$は15で割り切れることを示せ．
(2)$a_{2010}$が15の倍数となる最小の$k$を求めよ．

自然数$m,\ n$に対して，$m=qn+r, 0 \leqq r<n$となる整数$q$と$r$をそれぞれ$m$を$n$で割ったときの商と余りという．ここでは$m$を$n$で割ったときの余り$r$を$m\,@\,n$で表すことにする．$a,\ b,\ c$を自然数とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$1^2\,@\,3, 2^2\,@\,3, 3^2\,@\,3$を求め，$a>3$に対して$a^2\,@\,3$を求めよ．
(2)$(a+b)\,@\,c=\{(a\,@\,c)+(b\,@\,c)\}\,@\,c$となることを示せ．
(3)$a^2+b^2=c^2$のとき$a,\ b$の少なくともひとつは3の倍数であることを示せ．

自然数$N$は$30$の倍数である．
\begin{align}
& U=\{x \;|\; x \text{は}1 \text{以上} N \text{以下の奇数} \}, \nonumber \\
& A=\{ x \;|\; x \in U,\ x \text{は}3 \text{の倍数} \}, \nonumber \\
& B=\{ x \;|\; x \in U,\ x \text{は}5 \text{の倍数} \}, \nonumber
\end{align}
とし，集合$U,\ A,\ B,\ A \cap B$の要素の個数をそれぞれ$u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$と表す．次の問いに答えよ．

(1)$u_N,\ a_N,\ b_N,\ c_N$を$N$を用いて表せ．
(2)$N$以下の素数の個数を$P_N$とするとき，不等式$P_N \leqq u_N-a_N-b_N+c_N+2$を示せ．
(3)(2)の$P_N$について，$\displaystyle \frac{P_N}{N} \leqq \frac{1}{3}$を示せ．

次の各問に答えよ．

(1)異なる$3$個のサイコロを同時に投げたとき，目の和が$5$の倍数になる場合は$[ア]$通りである．
(2)数列$\{a_n\}$は，初項が$2$，公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$，公比が$3$の等比数列である．このとき
\[ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \frac{[イ]+([ウ]n+[エ])3^n}{[オ]} \]
である．ただし，$[オ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$である．

(2)$|\abs{x-1|-2}=3$の解は$x=[エオ],\ [カ]$である．
(3)$2$つの$2$次関数$y=6x^2+2kx+k$，$y=-x^2+(k-6)x-1$のグラフが両方とも$x$軸と共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]<k<[ク]$である．
(4)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$で$\displaystyle \tan \theta=-\frac{4}{3}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，$\displaystyle \sin (180^\circ-\theta)=\frac{[シ]}{[ス]}$である．
(5)不等式$\displaystyle \frac{2x-5}{4}<\frac{x+4}{3} \leqq \frac{3x+1}{6}$の解は$\displaystyle [セ] \leqq x<\frac{[ソタ]}{[チ]}$である．
(6)$1$から$100$までの整数のうち，$4$の倍数かつ$6$の倍数である整数は$[ツ]$個あり，$4$の倍数または$6$の倍数である整数は$[テト]$個ある．
(7)$1$個のさいころを投げて，偶数の目が出たときはその目の数の$2$倍を得点とし，奇数の目が出たときはその目の数の$3$倍を得点とするゲームを行う．このとき，このゲームの得点の期待値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$である．
(8)図のように，直線$\ell$は中心を$\mathrm{O}$とする円と点$\mathrm{A}$において接している．また，$\ell$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{O}$を通る直線と円との交点を図のように$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{PAB}=115^\circ$であるとする．このとき，
\[ \angle \mathrm{ABC}=[エオ]^\circ,\quad \angle \mathrm{APC}=[カキ]^\circ \]
である．
（図は省略）

以下の問に答えよ．

(1)$a$を$0$以上$7$以下の整数，$b$を$88$以下の正の整数，$c$を$1024$の倍数とする．このとき，$89a+b$のとり得る値の最大値は
[ア][イ][$1$]である．$89a+b-c+669$が$1024$の倍数のとき，$89a+b=[ウ][エ][$5$]$となって，$a=[オ]$，$b=[カ][$8$]$となる．
(2)数列
\[ \{a_n\} : \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{3}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{5}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{5}{4},\ \frac{7}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots \]
について次の問いに答えよ．

(i) $\displaystyle \frac{35}{49}$は数列$\{a_n\}$の第$\kakkofour{キ}{ク}{ケ}{4}$項である．
(ii) 数列$\{a_n\}$の第$2008$項は
\[ a_{2008}=\frac{[コ][サ][9]}{[シ][3]} \]
である．
(iii) 数列$\{a_n\}$の初項から第$1005$項までの和は
\[ [ス][セ][5] \]
である．

さいころを$4$回投げて，出た目を順に並べて$4$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．

(1)$4$桁の整数は何個できるか．
(2)これらの整数の中に$5$の倍数は何個あるか．
(3)これらの整数の中に$3333$以上かつ$4444$未満の整数は何個あるか．

さいころを$4$回投げて，出た目を順に並べて$4$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．

(1)$4$桁の整数は何個できるか．
(2)これらの整数の中に$5$の倍数は何個あるか．
(3)これらの整数の中に$3333$以上かつ$4444$未満の整数は何個あるか．