正の整数$m,\ n$が次の$2$つの条件を満たしている．
\[ (*) \quad \left\{ \begin{array}{l}
n \text{は} m \text{の倍数} \\
\text{等式} \displaystyle\frac{2n}{3}=\frac{n}{m}+1 \text{が成り立つ} \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$n$を$3$で割ったときの余りを求めよ．
(2)$(*)$を満たす組$(m,\ n)$をすべて求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$x>0$のとき，関数$\displaystyle f(x)=x^2+x+\frac{2}{x}+\frac{1}{2x^2}$の最小値を求めよ．
(2)$1$から$10$までの番号が書かれた$10$枚のカードから同時に$3$枚を取り出したとき，カードに書かれた$3$つの数字の積が$3$の倍数になる確率を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{A}={75}^\circ$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1$のとき，$\angle \mathrm{C}$，$\mathrm{AC}$を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)放物線$y=-2x^2+7x+6$の頂点は$[ア]$，軸は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle \cos \theta=-\frac{5}{13}$のとき，$\sin \theta=[ウ]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(3)$10$人を$7$人と$3$人に分ける仕方は，$[エ]$通りある．
(4)$1$から$1000$までの番号をつけた$1000$枚のカードから$1$枚をとりだすとき，その番号が$14$または$21$の倍数である確率は$[オ]$である．

$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が次の漸化式で与えられているとする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=4,\ b_1=3 \\
a_{n+1}=4a_n-3b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_{n+1}=3a_n+4b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ b_2,\ b_3,\ b_4$を求めなさい．
(2)$a_{n+4}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots), b_{n+4}-b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$はともに$5$の倍数であることを証明しなさい．
(3)$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$も$b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$も$5$の倍数ではないことを証明しなさい．

$n$を自然数とし，
\[ S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2 \]
とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
(2)(1)の結果を利用して，$S_{3n}+n$が$3$の倍数であることを証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=2|\overrightarrow{b}|=4$をみたす$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$に対して$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}=4 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$が直交するとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle I=\int_{-1}^2 |x^3-3x^2+2x| \, dx$の値を求めよ．
(3)$10$個の数$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$の中から異なる数字を選んで$4$けたの数を作るとき，この$4$けたの数が$25$の倍数となるのは何通りあるか．

0以上の整数$a_1,\ a_2$があたえられたとき，数列$\{a_n\}$を
\[ a_{n+2} = a_{n+1} + 6a_n \]
により定める．

(1)$a_1=1,\ a_2=2$のとき，$a_{2010}$を10で割った余りを求めよ．
(2)$a_2=3a_1$のとき，$a_{n+4}-a_n$は10の倍数であることを示せ．

実数$p,\ q,\ r$に対して，3次多項式$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$と定める．実数$a,\ c,\ $および0でない実数$b$に対して，$a+bi$と$c$はいずれも方程式$f(x)=0$の解であるとする．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，点$(a,\ f(a))$における接線の傾きを$s(a)$とし，点$(c,\ f(c))$における接線の傾きを$s(c)$とする．$a \neq c $のとき，$s(a)$と$s(c)$の大小を比較せよ．
(2)さらに，$a,\ c$は整数であり，$b$は0でない整数であるとする．次を証明せよ．

(3)$p,\ q,\ r$はすべて整数である．
(4)$p$が2の倍数であり，$q$が4の倍数であるならば，$a,\ b,\ c$はすべて2の倍数である．

すべての正の整数$n$に対して，$3^{3n-2}+5^{3n-1}$が7の倍数であることを証明せよ．

$p$を3以上の素数，$a,\ b$を自然数とする．以下の問に答えよ．ただし，自然数$m,\ n$に対し，$mn$が$p$の倍数ならば，$m$または$n$は$p$の倍数であることを用いてよい．

(1)$a+b$と$ab$がともに$p$の倍数であるとき，$a$と$b$はともに$p$の倍数であることを示せ．
(2)$a+b$と$a^2 +b^2$がともに$p$の倍数であるとき，$a$と$b$はともに$p$の倍数であることを示せ．
(3)$a^2 +b^2$と$a^3 +b^3$がともに$p$の倍数であるとき，$a$と$b$はともに$p$の倍数であることを示せ．