サイコロを$3$個投げて出た目について，以下の確率を求めよ．

(1)出た目の積が素数となる確率．
(2)出た目の積が$3$の倍数となる確率．
(3)出た目の積が$4$の倍数となる確率．

$U=\{n \;|\; n \text{は} 1 \text{から} 100 \text{までの自然数} \}$を全体集合として，その部分集合を

$A=\{n \;|\; n \text{は} 2 \text{の倍数} \}$
$B=\{n \;|\; n \text{は} 3 \text{の倍数} \}$

とする．このとき$A \cup B$に属する要素の個数は$[$1$]$であり，$\overline{A} \cap \overline{B}$に属する要素の個数は$[$2$]$である．

大小$2$つのサイコロを投げるとき，目の和が$3$の倍数である確率は$[$1$]$である．また，目の積が偶数である確率は$[$2$]$である．

次の（ \quad ）を埋めよ．

(1)大のサイコロの目を百の位の数に，中のサイコロの目を十の位の数に，小のサイコロの目を一の位の数とするとき，できた$3$桁の整数が$4$の倍数になる確率は$( ① )$となる．
(2)$(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7})$を計算すると$( ② )$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺がそれぞれ$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{BC}=17$，$\mathrm{CA}=10$とするときこの三角形の面積は$( ③ )$である．
(4)$(a+b)^{12}$を展開したとき$a^7 b^5$の係数は$( ④ )$である．
(5)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$を$7:5$に外分するとき$\mathrm{AB}:\mathrm{BP}=( ⑤ )$である．

$1$個のさいころを$5$回振る試行を行うとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$3$の倍数の目がそれ以外の目より$1$回だけ多く出る確率を求めなさい．
(2)$3$の倍数の目がそれ以外の目より$2$回以上多く出る確率を求めなさい．
(3)$3$の倍数の目が出る回数を$x$とし，それ以外の目が出る回数を$y$とする．$x^2+y^2$が最小値をとる確率を求めなさい．

$x$の$2$次方程式$x^2-2x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha < \beta)$とし，正の整数$n$に対して
\[ x_n = \frac{\beta^n - \alpha^n}{2\sqrt{2}} \]
とおく．次の各問に答えよ．

(1)$x_1,\ x_2$を求めよ．
(2)$x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)$x_{3n}$は$5$の倍数であることを証明せよ．

$x+y+z=n$（$n$は正の整数）をみたす正の整数の組$(x,\ y,\ z)$について，次の問いに答えよ．

(1)$n=19$のとき，$(x,\ y,\ z)$の組は何通りあるか．そのうち，$x,\ y,\ z$のいずれか$2$つが等しい組，$x \leqq y \leqq z$をみたす組はそれぞれ何通りあるか．
(2)$n$が$6$の倍数であるとき，$x \leqq y \leqq z$をみたす$(x,\ y,\ z)$の組は何通りあるか．

$n$は自然数とする．$3$次方程式$x^3-3x^2-27x-27=0$の$3$つの解$a,\ b,\ c$について，$p_n=a^n+b^n+c^n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は$3$つの異なる実数であることを示せ．
(2)$p_1,\ p_2,\ p_3$の値を求めよ．
(3)$p_{n+3}$を$p_n$，$p_{n+1}$および$p_{n+2}$を用いて表せ．
(4)$p_n$は$3^n$の倍数であることを示せ．

整数$m$が与えられたとき，$x$に関する整数係数の$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$が関係式
\[ f(x) \equiv g(x) \pmod m \]
を満たすとは，等式$f(x)-g(x)=mh(x)$を満たすような整数係数の整式$h(x)$が存在することである．

(1)$f(x),\ g(x),\ F(x),\ G(x)$を整数係数の整式とする．もし，ある整数$m$について関係式$f(x) \equiv g(x) \pmod m$，かつ$F(x) \equiv G(x) \pmod m$が満たされるならば，関係式$f(x)+F(x) \equiv g(x)+G(x) \pmod m$，かつ$f(x)F(x) \equiv g(x)G(x) \pmod m$が満たされることを証明せよ．
(2)正整数$p (>1)$を素数とする．$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数$\comb{p}{i}$は$p$の倍数であることを証明せよ．
(3)正整数$p (>1)$を素数とする．任意の正整数$n$について，関係式
\[ (1+x)^{p^n} \equiv 1+x^{p^n} \pmod p \]
が満たされることを証明せよ．
(4)正整数$p (>1)$を素数とし，$n$を$2$以上の正整数とする．$n-1$個の二項係数$\comb{n}{i} (1 \leqq i \leqq n-1)$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は，整数$n$が素数$p$の正べきである（すなわち，適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる）ことを証明せよ．

$n$を$3$以上の整数とする．$3n$枚のカードに1から$3n$までの数字が$1$つずつ書かれている．この中から$3$枚のカードを取りだす．ひとたび取りだしたカードは戻さないものとする．

(1)$3$枚のカードの数字がすべて$3$の倍数である確率を求めよ．
(2)$3$枚のカードの数字の和が$3$の倍数である確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードの数字の積が$3$の倍数である確率と$3$枚のカードの数字の和が$3$の倍数でない確率とはどちらが大きいかを調べよ．