$n$を2以上の整数とする．集合$X_n=\{ 1,\ 2,\ \cdots,\ n \}$を2つの空集合ではない部分集合$A_n,\ B_n$に分ける．すなわち，$A_n \cup B_n=X_n,\ A_n \cap B_n = \phi,\ A_n \neq \phi,\ B_n \neq \phi$である．$A_n$に属する自然数の和を$a_n$，$B_n$に属する自然数の和を$b_n$とおく．例えば，$n=5$のとき，$X_5$を$A_5=\{ 1,\ 2,\ 5 \},\ B_5=\{ 3,\ 4 \}$と分ければ，$a_5=8,\ b_5=7$となる．このとき，次の問に答えよ．

(1)$n$が4の倍数のとき，$a_n=b_n$となるように$X_n$を分けられることを示せ．
(2)$n+1$が4の倍数のときも，$a_n=b_n$となるように$X_n$を分けられることを示せ．
(3)$n$も$n+1$も4の倍数ではないとき，$a_n=b_n$となるようには$X_n$を分けられないことを示せ．

$p$を自然数とし，$r$を1より大きい実数とする．数列$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$をすべて満たしている．

$(ⅰ)$ $\displaystyle a_n=r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$(ⅱ)$ $a_2=p$
$(ⅲ)$ $a_3 \leqq 13$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$について，$a_{n+2}=pa_{n+1}-a_n$が成り立つことを証明せよ．
(2)$p$および$r$の値を求めよ．
(3)$m$を自然数とする．$2m$個の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{2m}$のうち，3の倍数であるものすべての和を求めよ．

箱$\mathrm{A}$には$1$から$9$までの数が書かれた札が$9$枚，箱$\mathrm{B}$には$0$から$9$までの数が書かれた札が$10$枚入っている．今，それぞれの箱から$1$枚ずつ札を取り出して$2$桁の数を作る．ただし，箱$\mathrm{A}$から取り出した札を十の位，箱$\mathrm{B}$から取り出した札を一の位に割り当てるものとし，取り出した札は数を記録した後で元の箱に戻す．今，下図のような数直線を考え，点$\mathrm{Q}$が初期状態で$3$の位置にあるものとする．$2$桁の数が$3$の倍数の場合は数直線上の点$\mathrm{Q}$を負の方向に$1$移動し，それ以外の場合は正の方向に$1$移動するものとして，以下の問いに答えよ．

(1)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$3$回行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にない確率を求めよ．
(2)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったときの点$\mathrm{Q}$の位置を$x(n)$とする．数直線上を負の方向に移動した回数を$k$として$x(n)$を$n$と$k$で表せ．また，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にあるときの$k$を求めよ．
(3)数直線上の点$\mathrm{Q}$の移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にある確率を求めよ．
（図は省略）

$1$と$2$を用いて$n$桁の自然数を作る．このような$n$桁の自然数のうち，$3$の倍数となる数の個数を$a_n$，そうで
ない数の個数を$b_n$とする．
\[ a_1= [ク], \quad b_1=[ケ] \]
である．また，
\[ a_n+b_n = [コ]^n \]
であり，さらに，実数$p,\ q,\ r,\ s$を用いて，
\[ a_{n+1} = pa_n + qb_n \]
\[ b_{n+1} = ra_n +sb_n \]
と表すことができる．
\[ p=[サ],\quad q=[シ] \]
である．ここで，$c_n=\displaystyle\frac{a_n}{2^n}$とおくと，
\[ c_{n+1} = \frac{[ス]}{2}c_n + \frac{[セ]}{2}, \quad c_1 = [ソ] \]
となる．よって，
\[ a_n = \frac{[タ]}{3}\left([チ]\right)^n + \frac{[ツ]^n}{3} \]
である．

$n$を$2$以上$9$以下の自然数とする．$1$から$n$までの数字が書いてある$n$枚のカードを入れた袋から，カードを順に$2$枚引いて，引いた順に右から並べて$2$桁の数を作り，それらのカードを袋に戻す試行を考える．次の各問いに答えよ．

(1)$n=9$のとき，この試行によって得られた$2$桁の数が$3$の倍数である確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)この試行を$2$回繰り返すとき，$1$回目の数が$2$回目の数以上となる確率を$P(n)$とする．このとき，$P(5)=\displaystyle\frac{[ウエ]}{[オカ]}$である．また，$P(n) \geq \displaystyle\frac{7}{13}$となる最大の$n$の値は[キ]である．

以下の$[　]$にあてはまる値を答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \begin{array}{l}
x=-\sin \theta+2\cos \theta \\
y= 2\sin \theta+3\cos \theta
\end{array} \]
と表されているとする．このとき，原点を$\mathrm{O}$とすると
\[ \mathrm{OP}^2 = [ア]\sqrt{2} \sin \left( [イ]\theta + \frac{\pi}{[ウ]} \right) + [エ] \]
が成り立つ．
(2)$4$つのサイコロを投げて，出た目の積を$m$とする．

(3)$m=10$となる確率は$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ][キ][ク]}$である．また，$m=60$となる確率は$\displaystyle\frac{[ケ]}{[コ][サ][シ]}$である．
(4)$m$が$10$と互いに素になる確率は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である．また，$m$が$10$の倍数となる確率は$\displaystyle\frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト][ナ]}$である．\\
ただし，自然数$a$と$b$が互いに素であるとは，$a$と$b$が$1$以外の公約数を持たないことをいう．

(5)$xy$座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$に正三角形$\mathrm{ABC}$が内接していて，三点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はその順に反時計回りに位置している．点$\mathrm{A}$の$x$座標と$y$座標はともに正とする．直線$\mathrm{AC}$と$y$軸は点$\mathrm{D}$で交わっていて，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{BC}$に平行な直線は，円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{E}$で接するという．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[ニ]$であって，$\tan (\angle \mathrm{ODE}) = [ヌ]$となる．ゆえに，点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ネ]$である．

空欄$[　]$に当てはまるものを入れよ．

(1)$5$個の数字$0$，$1$，$2$，$3$，$4$を並べて$5$桁の整数を作る．小さい順にこれらの整数を並べたとき，$57$番目の整数は$\fbox{\footnotesize \phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}$である．また，偶数である整数は$[カキ]$個あり，$4$の倍数である整数は$[クケ]$個ある．
(2)次の連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_xy+2 \log_y x=3 \\
\log_x(y^2+xy)=2
\end{array} \right. \]
の解は$\displaystyle x=\frac{-[コ]+\sqrt{[サ]}}{[シ]}$，$\displaystyle y=\frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．
(3)自然数$1,\ 2,\ \cdots,\ n$の中から異なる二つの数を選んで積を作る．このような積全ての和を$S_n$とおく．ただし，$S_1=0$とする．$S_n$と$S_{n-1}$の間には漸化式
\[ S_n=S_{n-1}+n \cdot \frac{[タ]}{[チ]} \]
が成り立つ．これを使って，$S_n$を求めると
\[ S_n=\frac{1}{[ツテ]} \cdot n(n+1)([ト]) \]
となる．

$0$から$6$までの$7$個の数字の中から異なる$3$個の数字を用いて，$3$桁の整数をつくる．

(1)$5$の倍数は全部で何個できるか．
(2)一の位，十の位，百の位にある$3$つの数の積が$5$の倍数となるものは全部で何個できるか．なお，$0$は$5$の倍数である．
(3)一の位，十の位，百の位にある$3$つの数の和が$5$の倍数となるものは全部で何個できるか．

大小$2$つのサイコロを同時に投げる試行について考える．出た目の積が偶数になる場合が$m$通り，出た目の積が$4$の倍数になる場合が$n$通りであるとする．$\displaystyle \frac{m-n}{6}$の値を求めよ．

$1$から$2012$までの整数のうち，$7$の倍数全体の集合を$A$，$11$の倍数全体の集合を$B$，$13$の倍数全体の集合を$C$とする．集合$X$の要素の個数が有限のとき，その要素の個数を$n(X)$で表すことにする．

(1)$n(A),\ n(B),\ n(C)$をそれぞれ求めよ．
(2)$n(A \cup B),\ n(A \cup C),\ n(B \cup C)$をそれぞれ求めよ．
(3)$n(A \cap (B \cup C)),\ n(A \cup (B \cup C))$をそれぞれ求めよ．