「倍数」について
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国立 埼玉大学 2012年 第3問正三角形の頂点を反時計回りにそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，頂点$\mathrm{A}$上に碁石が置かれているとする．さいころを何回か投げ，以下の規則[R]に従って碁石を移動させるゲームを考える．\\
$[\text{R}]$ \quad さいころの目が$3$の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し，$3$の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる．\\
このとき下記の設問に答えなさい．
(1)さいころを$3$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(2)さいころを$n$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ$p,\ q,\ r$とする．さらに続けて$4$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(3)さいころを$100$回投げたとき，碁石が置かれている確率の最も高い頂点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちのどれか求めなさい．
$[\text{R}]$ \quad さいころの目が$3$の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し，$3$の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる．\\
このとき下記の設問に答えなさい．
(1)さいころを$3$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(2)さいころを$n$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ$p,\ q,\ r$とする．さらに続けて$4$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(3)さいころを$100$回投げたとき，碁石が置かれている確率の最も高い頂点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちのどれか求めなさい．
国立 千葉大学 2012年 第3問さいころを$7$回投げ，$k$回目（$1 \leqq k \leqq 7$）に出る目を$X_k$とする．
(1)積$X_1X_2$が$18$以下である確率を求めよ．
(2)積$X_1X_2\cdots X_7$が偶数である確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2\cdots X_7$が$4$の倍数である確率を求めよ．
(4)積$X_1X_2\cdots X_7$を$3$で割ったときの余りが$1$である確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2$が$18$以下である確率を求めよ．
(2)積$X_1X_2\cdots X_7$が偶数である確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2\cdots X_7$が$4$の倍数である確率を求めよ．
(4)積$X_1X_2\cdots X_7$を$3$で割ったときの余りが$1$である確率を求めよ．
国立 信州大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とするとき，$4^{2n-1}+3^{n+1}$は13の倍数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{5-\sqrt{19}}$の整数部分を$\alpha$，小数部分を$\beta$とするとき$\alpha,\ \beta$を求めよ．また$\alpha^2-18 \beta^2$を求めよ．
(1)$n$を自然数とするとき，$4^{2n-1}+3^{n+1}$は13の倍数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{5-\sqrt{19}}$の整数部分を$\alpha$，小数部分を$\beta$とするとき$\alpha,\ \beta$を求めよ．また$\alpha^2-18 \beta^2$を求めよ．
国立 東京工業大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$との内積を求めよ．
(2)$1$から$6$までの目がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で出るさいころを同時に$3$個投げるとき，目の積が$10$の倍数になる確率を求めよ．
(1)辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$との内積を求めよ．
(2)$1$から$6$までの目がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{6}$の確率で出るさいころを同時に$3$個投げるとき，目の積が$10$の倍数になる確率を求めよ．
国立 千葉大学 2012年 第10問さいころを$n$回($n \geqq 2$)投げ，$k$回目$\; (1 \leqq k \leqq n)$に出る目を$X_k$とする．
(1)積$X_1X_2$が18以下である確率を求めよ．
(2)積$X_1X_2\cdots X_n$が偶数である確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2\cdots X_n$が4の倍数である確率を求めよ．
(4)積$X_1X_2\cdots X_n$を3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．
(1)積$X_1X_2$が18以下である確率を求めよ．
(2)積$X_1X_2\cdots X_n$が偶数である確率を求めよ．
(3)積$X_1X_2\cdots X_n$が4の倍数である確率を求めよ．
(4)積$X_1X_2\cdots X_n$を3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第3問箱の中に，数字の$1$が書かれたカードと数字の$2$が書かれたカードが，それぞれ$1$枚ずつ入っている．この箱の中から$1$枚のカードを取り出し，数字を記録して箱に戻す．これを$n$回繰り返したとき，記録された数字の和が$3$の倍数である確率を$P_n$とする．
(1)$P_1,\ P_2$を求めよ．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$を用いて表せ．
(3)$P_n$を$n$を用いて表せ．
(1)$P_1,\ P_2$を求めよ．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$を用いて表せ．
(3)$P_n$を$n$を用いて表せ．
国立 富山大学 2012年 第2問$n$が奇数のとき，
\[ S=n+(n+1)^2+(n+2)^3 \]
は$16$の倍数であることを示せ．
\[ S=n+(n+1)^2+(n+2)^3 \]
は$16$の倍数であることを示せ．
国立 鹿児島大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
国立 鹿児島大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
国立 鹿児島大学 2012年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．
(1)$\mathrm{KADAI}$という語の$5$文字を並べて得られる順列のうち，$2$つの$\mathrm{A}$が隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)$x^2-9x+14>0$を満たさない整数$x$で，$3$の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ならば$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であることを示せ．