次の問いに答えよ．

(1)不等式$(x-1)^2-3 |x-1|+1<0$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
(2)すべての自然数$n$に対して，$2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1}$が$5$の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

さいころを$4$回振って出た目を順に$a,\ b,\ c,\ d$とし，
\[ N=1000a+100b+10c+d,\quad M=1000d+100c+10b+a \]
と定める．このとき，次の問に答えよ．ただし，$n$の倍数は，$0,\ \pm n,\ \pm 2n,\ \cdots$であるとする．

(1)$N-M$は$9$の倍数であることを示せ．
(2)$N-M$が$18$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$N-M$が$37$の倍数となる確率を求めよ．

$a,\ d$を正の整数とする．$x_1=a,\ x_2=a+d,\ x_3=a+2d,\ x_4=a+3d$とおく．$x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$がすべて素数であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$は奇数であることを示せ．また，$d$は偶数であることを示せ．
(2)$d$は$3$の倍数であることを示せ．
(3)$x_3=67$であるとき，$a,\ d$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．

硬貨投げをしたとき，表，裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出る硬貨がある．この硬貨を用いて硬貨投げを$n$回繰り返す．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し，$k$回目の硬貨投げの結果に応じて$a_k$を次で定める：
\[ a_k=\left\{ \begin{array}{rl}
1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が表のとき} \\
-1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が裏のとき}
\end{array} \right. \]
また，この$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を用いて$n$次式$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n a_kx^k$で定める．

(1)$n$が偶数のとき，$f(x)$が$x-1$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)$n$が$4$の倍数のとき，$f(x)$が$(x-1)(x+1)$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(3)$n$が$2$以上の自然数のとき，$f(2)=2$となる確率を$n$を用いて表せ．

$1$から$40$までの番号をつけた$40$枚のカードが$2$組ある．これら$80$枚のカードを袋に入れてよくかき混ぜて，同時に$3$枚を取り出すとき，次の確率を求めよ．

(1)$3$つの番号がすべて$3$の倍数である確率
(2)$3$つの番号の積が$3$の倍数である確率
(3)$3$つの番号の和が$3$の倍数である確率

$1$から$40$までの番号をつけた$40$枚のカードが$2$組ある．これら$80$枚のカードを袋に入れてよくかき混ぜて，同時に$3$枚を取り出すとき，次の確率を求めよ．

(1)$3$つの番号がすべて$3$の倍数である確率
(2)$3$つの番号の積が$3$の倍数である確率
(3)$3$つの番号の和が$3$の倍数である確率
(4)$3$つの番号の積が$27$の倍数である確率

百の位が$a$，十の位が$b$，一の位が$c$である$1$以上$999$以下の整数がある．ただし，この整数が$99$以下のときは百の位が$0$であるとみなし，さらに$9$以下のときは十の位も$0$であるとみなす．この整数が各位の数の和の$3$乗に等しいとき次の問に答えよ．

(1)$(a+b+c)^3-(a+b+c)$は$9$の倍数であることを証明せよ．
(2)多項式$(x+y+z)^3-(x+y+z)$を因数分解せよ．
(3)このような整数をすべて求めよ．

$1$から$40$までの番号をつけた$40$枚のカードが$2$組ある．これら$80$枚のカードを袋に入れてよくかき混ぜて，同時に$3$枚を取り出すとき，次の確率を求めよ．

(1)$3$つの番号がすべて$3$の倍数である確率
(2)$3$つの番号の積が$3$の倍数である確率
(3)$3$つの番号の和が$3$の倍数である確率

次の各問いに答えよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．