次の問いに答えよ．

(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}-a_n=(n+1)(n+2) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 2
\end{array} \right)$とし，$pA+qE$（$p,\ q$は実数）の形の$2$次正方行列全体の集合を$M$とする．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(i) $A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(ii) $A^{-1}$は集合$M$に属することを示せ．

(3)$m,\ n$を正の整数として次の命題を考える．

「$m^2+2n^2$が$3$の倍数でない \quad $\Longrightarrow$
（$m$は$3$の倍数でない$\ $または$\ n$は$3$の倍数である）」

(i) この命題の対偶を述べよ．
(ii) この命題が偽であることを示せ．

$1$から$1000$までの整数のうちで，それぞれ次の条件を満たすものの個数を求めなさい．

(1)$5$の倍数であり，かつ$7$の倍数である整数．
(2)$5$の倍数であるか，または$7$の倍数である整数．
(3)$5$でも$7$でも割り切れない整数．
(4)$5$または$7$のどちらか一方のみで割り切れる整数．
(5)$5,\ 7,\ 9$のいずれか$1$つのみで割り切れる整数．

次の規則に従って座標平面を動く点$\mathrm{P}$がある．2個のサイコロを同時に投げて出た目の積を$X$とする．

(i) $X$が$4$の倍数ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$-1$動く．
(ii) $X$を$4$で割った余りが$1$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$-1$動く．
(iii) $X$を$4$で割った余りが$2$ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く．
\mon[$\tokeishi$] $X$を$4$で割った余りが$3$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$+1$動く．

たとえば，$2$と$5$が出た場合には$2 \times 5=10$を$4$で割った余りが$2$であるから，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く． \\
\quad 以下のいずれの問題でも，点$\mathrm{P}$は原点$(0,\ 0)$を出発点とする．

(1)$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
(2)$2$個のサイコロを$3$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．
(3)$2$個のサイコロを$4$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．

$k,\ m,\ n$は整数とし，$n \geqq 1$とする．$\comb{m}{k}$を二項係数として，$S_k(n),\ T_m(n)$を以下のように定める．
\begin{align}
& S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k,\quad S_k(1)=1 \quad (k \geqq 0) \nonumber \\
& T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+\cdots +\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n) \nonumber \\
& \phantom{T_m(n)}=\sum_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n) \quad (m \geqq 2) \nonumber
\end{align}

(1)$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．
(2)一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．
(3)$p$が7以上の素数のとき，$S_1(p-1),\ S_2(p-1),\ S_3(p-1),\ S_4(p-1)$は$p$の倍数であることを示せ．

$1$個のさいころを$3$回投げる試行において，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$，$3$回目に出る目を$c$とする．

(1)$\log_{\frac{1}{4}}(a+b)>\log_{\frac{1}{2}}c$となる確率を求めよ．
(2)$2^a+2^b+2^c$が$3$の倍数となる確率を求めよ．

次の規則に従って座標平面を動く点$\mathrm{P}$がある．$2$個のサイコロを同時に投げて出た目の積を$X$とする．

(i) $X$が$4$の倍数ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$-1$動く．
(ii) $X$を$4$で割った余りが$1$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$-1$動く．
(iii) $X$を$4$で割った余りが$2$ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く．
\mon[$\tokeishi$] $X$を$4$で割った余りが$3$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$+1$動く．

たとえば，$2$と$5$が出た場合には$2 \times 5=10$を$4$で割った余りが$2$であるから，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く． \\
\quad 以下のいずれの問題でも，点$\mathrm{P}$は原点$(0,\ 0)$を出発点とする．

(1)$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 0)$にある確率を求めよ．
(2)$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(0,\ 1)$にある確率を求めよ．
(3)$2$個のサイコロを$3$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)整数$x,\ y$が$25x-31y=1$を満たすとき，$x-5$は$31$の倍数であることを示せ．
(2)$1 \leqq y \leqq 100$とする．このとき，不等式
\[ 0 \leqq 25x-31y \leqq 1 \]
を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

$k,\ m,\ n$は整数とし，$n \geqq 1$とする．$\comb{m}{k}$を二項係数として，$S_k(n),\ T_m(n)$を以下のように定める．
\begin{align}
& S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k,\quad S_k(1)=1 \quad (k \geqq 0) \nonumber \\
& T_m(n)=\comb{m}{1}S_1(n)+\comb{m}{2}S_2(n)+\comb{m}{3}S_3(n)+\cdots +\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n) \nonumber \\
& \phantom{T_m(n)}=\sum_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}S_k(n) \quad (m \geqq 2) \nonumber
\end{align}

(1)$T_m(1)$と$T_m(2)$を求めよ．
(2)一般の$n$に対して$T_m(n)$を求めよ．
(3)$p$が3以上の素数のとき，$S_k(p-1) \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ p-2)$は$p$の倍数であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$\log_3(x-2)+2 \log_9(x-4)<1$を解け．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の座標軸上に，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ \sqrt{6},\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$がある．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{BA}$を$t:1-t$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．この$4$点により定まる長方形$\mathrm{PQRS}$の面積$M(t)$が最大となるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角$\theta \ (0<\theta<\pi)$を求めよ．
(3)$3$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目の積が$10$の倍数である確率を求めよ．

$3$個のサイコロを同時に投げるとき，以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．

(1)$3$個のサイコロの目の積が奇数となる確率を求めよ．
(2)$3$個のサイコロの目の積が偶数となる確率を求めよ．
(3)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(4)$3$個のサイコロの目の積が$3$の倍数で，かつ，奇数となる確率を求めよ．
(5)$3$個のサイコロの目の積または和が$3$の倍数となる確率を求めよ．