次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{8} \right) \div 0.25$を計算せよ．
(2)$200$以下の自然数のうち，$3$の倍数でも$7$の倍数でもないものはいくつあるか答えよ．
(3)ある縮尺の地図上で，たて$x \, \mathrm{cm}$，よこ$y \, \mathrm{cm}$で表される長方形の土地がある．この土地の実際の面積が$z \, \mathrm{m}^2$のとき，この地図の縮尺を求めよ．
(4)$(\log_3 6-1)(\log_2 6-1)$を計算せよ．
(5)$(3x-yi)^2=2i$を満たす実数$x,\ y$を求めよ．ただし，$i^2=-1$である．

正二十面体のサイコロを考える．各面に$1$から$20$までの整数が一つずつ書いてある．

(1)このサイコロを$1$回ふるとき，出る目の数が素数である確率を求めよ．
(2)このサイコロを$1$回ふるとき，出る目の数が$3$の倍数である確率を求めよ．
(3)このようなサイコロを$2$回ふるとき，出る目の数の積が$3$の倍数であって$9$の倍数でない確率を求めよ．

$\displaystyle \left( \sqrt{7}x^2+\frac{1}{49} \right)^{50}$の展開式について，次の問いに答えよ．

(1)$x^{96}$の係数を$a \times 7^b$の形に表せ．ただし，$a,\ b$は自然数とし，$a$は$7$の倍数でないとする．
(2)係数が自然数になる項の個数を求めよ．

図のように，$1$から$9$までの異なる自然数の書かれたボタンを$3$行$3$列に並べる．
（図は省略）

(1)ボタンの並べ方は，全部で何通りあるか．
(2)縦一列の$3$つのボタンの数字の和が，すべて奇数となる並べ方は何通りあるか．
(3)縦一列の$3$つのボタンの数字の和が，すべて$3$の倍数となる並べ方は何通りあるか．

$a$を$0$以上$9$以下の整数，$b$を$1$以上$99$以下の整数，$c$を$512$の倍数として次の問に答えよ．

(1)$80a+b$の最大値は$[$1$][$2$][$3$]$である．
(2)$80a+b-c+12$が$512$の倍数であるとき，$80a+b=[$4$][$5$][$6$]$であり，$a=[$7$]$，$b=[$8$][$9$]$である．

$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$ケタの整数を$x$とする．ただし，同じ数字をくり返し使ってよい．整数$x$の千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．

(1)整数$x$は全部で$[ヌ]$個できる．
(2)$a=d$となる$x$は全部で$[ネ]$個できる．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，$3$個以上が同じ数字となる$x$は全部で$[ノ]$個できる．
(4)$a+b+c+d$が$12$以上となる$x$は全部で$[ハ]$個できる．
(5)$3$の倍数となる$x$は全部で$[ヒ]$個できる．また，$4$の倍数となる$x$は全部で$[フ]$個できる．

$100$以上$200$以下のすべての整数を全体集合$U$とし，そのうち$3$の倍数の集合を$A$，$5$の倍数の集合を$B$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)集合$A$の要素の個数を求めよ．
(2)集合$A$のすべての要素の和を求めよ．
(3)集合$A \cap B$の要素の個数を求めよ．
(4)集合$A \cap \overline{B}$のすべての要素の和を求めよ．
(5)集合$\overline{A \cup B}$のすべての要素の和を求めよ．

次の$[あ]$～$[お]$に当てはまるものを，下の選択肢から選べ．

(1)$\displaystyle x=-\frac{2}{3}$は$3x^2-13x-10=0$であるための$[あ]$
(2)$n$を自然数とする．$n^2$が$5$の倍数であることは，$n$が$5$の倍数であるための$[い]$
(3)$a,\ b$を自然数とする．$(a+b)^2$が奇数であることは，$ab$が偶数であるための$[う]$
(4)平面上の異なる$2$つの円$C$，$C^\prime$の半径をそれぞれ$r$，$r^\prime$とし，中心間の距離を$d$とする．ただし，$r<r^\prime$とする．このとき，$C$と$C^\prime$が共有点をもたないことは，$d>r+r^\prime$であるための$[え]$
(5)$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$の$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の延長上に$\mathrm{CD}=4$となる点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AE}=3$となる点$\mathrm{E}$をとる．このとき，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{F}$に対して，$\mathrm{AF}=3$であることは，$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が一直線上にあるための$[お]$
選択肢：

\mon[$①$] 必要条件であるが十分条件ではない．
\mon[$②$] 十分条件であるが必要条件ではない．
\mon[$③$] 必要十分条件である．
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない．

次の問いに答えよ．

(1)次の文章の$[　]$に適する答えを記入せよ．
次のように$1$から$5$までの数字が書かれたカードを用意する．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \]
それに次のように$4$の数字が書かれたカードを$1$枚加える．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \quad \fbox{ $4$ } \]
この$6$枚のカードを$1$列に並べて$6$桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の場合の数は$[$①$]$であり，その中で$5$の倍数となる相異なる整数の場合の数は$[$②$]$である．次に，この$6$枚のカードに$0$と書かれたカードを加えて$7$枚のカードにし，この$7$枚のカードを$1$列に並べる．左端に$0$以外のカードが来ることによって$7$桁の相異なる整数になる場合の数は$[$③$]$である．その中で，$1$のカードと$2$のカードが隣りあう相異なる整数の場合の数は$[$④$]$である．
(2)次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
\[ \int x \log (1+x) \, dx \]

$n,\ m$を整数とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)$n^2$を$5$で割った余りは$0,\ 1$または$4$であることを証明せよ．
(2)$n$を$5$で割った余りが$4$のとき，$n^2+n$は$5$の倍数であることを証明せよ．
(3)$m>1$のとき，$m^3-m$が$6$の倍数であることを証明せよ．