次の問いに答えよ．

(1)式$(2x+1)^4$を展開したとき，$x$の項の係数は$[ア]$である．
(2)式$(2x+1)^4$を展開したとき，$x^2$の項の係数は$[イ]$である．
(3)式$(2x+1)^{10}$を展開したとき，$x^3$の項の係数は$[ウ]$である．
(4)式$(3x^3+2)^6$を展開したとき，$x^9$の項の係数は$[エ]$である．

$f(a,\ b,\ c)=(a+b+c)^8$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(a,\ b,\ c)$を展開したときの$a^4b^4$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle a=x,\ b=\frac{1}{x},\ c=1$のとき，$f(a,\ b,\ c)$を展開したときの定数項を求めよ．

$x$が正の整数であるとき，$x^4+4$が素数となりうるかを調べる．$[　]$に適当な式，または数値を入れよ．

$x^4+4$は，係数が実数の$2$つの$2$次式の積$([$*$]) \times ([$**$])$に因数分解することができる．$x$は正の整数であるから，$[$*$]$も$[$**$]$も，いずれも整数である．もし，$x^4+4$が素数であるとするならば，$[$*$]$と$[$**$]$のうち，いずれか小さい方が，$[　]$でなければならない．これを解くと，$x=[　]$であり，このとき，$x^4+4=[　]$となり，確かに素数となる．

以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{4x^2} \right)^7$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 3,\ 3,\ 7$の$7$個の数字を使ってできる$7$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$2$個のさいころを投げるとき，目の和が偶数である事象を$A$，少なくとも$1$個は$3$の倍数の目が出る事象を$B$とする．確率$P(A)$および$P(A \cap B)$をそれぞれ求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{4x^2} \right)^7$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 3,\ 3,\ 7$の$7$個の数字を使ってできる$7$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$2$個のさいころを投げるとき，目の和が偶数である事象を$A$，少なくとも$1$個は$3$の倍数の目が出る事象を$B$とする．確率$P(A)$および$P(A \cap B)$をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad s \geqq 0,\quad t \geqq 0 \]
とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．

(i) $1 \leqq s+t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[ア]$倍である．
(ii) $1 \leqq s+2t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[イ]$倍である．

(2)$(\sqrt{2})^n$は$n$が奇数のとき無理数である．より一般に，$2$以上の整数$k$に対し，$(\sqrt[k]{2})^n$は$n$が$k$の倍数でないとき無理数である．したがって，$2$以上の整数$k$に対し，
\[ \left( \sqrt{2}x+\sqrt[k]{2} \right)^{100} \]
を展開して得られる$x$の多項式において，

(i) $x^{100}$の係数は$2$の$[ウ]$乗，
(ii) $n=0,\ 1,\ \cdots,\ 100$に対し，$x^n$の係数が整数となるような$n$の個数は

$k=2$のとき$[エ]$個
$k=3$のとき$[オ]$個
$k=5$のとき$[カ]$個
$k=7$のとき$[キ]$個
$k=51$のとき$[ク]$個

である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解$\alpha$が$1-\sqrt{3}i$のとき，$a=[$1$]$，$b=[$2$]$となる．もう$1$つの解を$\beta$とするとき，$\alpha-2$，$\beta-2$を解とし，$x^2$の係数が$1$である$2$次方程式は$x^2+[$3$]x+[$4$]=0$となる．
(2)$a=\sqrt{3}$のとき，$|a-2|+|a+3|$の値は$[$5$]$である．また，方程式$|x+1|=4$の解は$[$6$]$である．
(3)$2+\sqrt{2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$\displaystyle 2a^2-\left( b^3+\frac{1}{b^3} \right)$の値は$[$7$]$である．
(4)$1$個のさいころを投げて，出た目が奇数なら$2$ポイント，偶数なら$4$ポイント獲得できるゲームがある．$1$回投げて獲得できるポイントの期待値は$[$8$]$である．また，さいころを$3$回投げたとき，獲得したポイントの合計が$12$である確率は$[$9$]$であり，$10$以上である確率は$[$10$]$である．
(5)放物線$y=x^3-3x^2+2$上の点$(1,\ 0)$における接線の方程式は$[$11$]$である．

次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)$xy$平面における放物線
\[ y=x^2-4x+1 \]
は放物線$y=x^2$を$x$軸方向に$[ア]$，$y$軸方向に$[イ]$だけ平行移動することによって得られる．関数
\[ y=x^2-4x+1 \quad (a \leqq x \leqq a+1) \]
の最小値を$m$とおく．ただし，$a$は実数である．$a<1$の場合は$m=[ウ]$であり，$1 \leqq a \leqq 2$の場合は$m=[エ]$であり，$a>2$の場合は$m=[オ]$である．
(2)${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5y^5$の係数を求めよう．二項定理により
\[ \begin{array}{lll}
{(2x^2-xy-3y^2)}^5 &=& \displaystyle\left\{ (2x^2-xy)-3y^2 \right\}^5 \\
&=& (2x^2-xy)^5+5(2x^2-xy)^4(-3y^2) \\
& & +[カ](2x^2-xy)^3(-3y^2)^2+10(2x^2-xy)^2(-3y^2)^3 \\
& & +5(2x^2-xy)(-3y^2)^4 +(-3y^2)^5
\end{array} \]
が成り立つ．$(2x^2-xy)^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[キ]$であり，$5(2x^2-xy)^4(-3y^2)$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[ク]$である．さらに，$[カ](2x^2-xy)^3(-3y^2)^2$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[ケ]$である．また，$10(2x^2-xy)^2(-3y^2)^3+5(2x^2-xy)(-3y^2)^4+(-3y^2)^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$0$である．よって${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[コ]$である．

次の問いに答えなさい．多項式$P(x)={(1+x)}^{24}$を考える．

(1)$P(x)$の$x^2$の係数は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\comb{24}{0}-\comb{24}{1}+\comb{24}{2}-\comb{24}{3}+\cdots +\comb{24}{22}-\comb{24}{23}+\comb{24}{24}=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$\displaystyle Q(x)=\frac{1}{2} \left( P(x)+P(-x) \right)$とする．このとき，$Q(x)$は$P(x)$の
$\big\{$ （ア）奇数次数の項からなる． （イ）偶数次数の項からなる． （ウ）奇数次数と偶数次数の項からなる． $\bigr\}$
（ア），（イ），（ウ）の中から最も適切なものを選び，その記号を$[$\mathrm{G]$}$に記しなさい．
(4)方程式$x^3=1$の$3$つの解を$1,\ \alpha,\ \beta$とする．

(i) ${(1-\alpha)}^6=[$\mathrm{H]$}$である．
(ii) $\alpha^2-\beta=[$\mathrm{I]$}$である．
(iii) $\displaystyle \sum_{k=0}^{12} \comb{24}{2k} \beta^k$の値を$[い]$で求めなさい．
なお，必要ならば$3^{12}=531441$を使ってよい．

次の（ \quad ）を埋めよ．

(1)大のサイコロの目を百の位の数に，中のサイコロの目を十の位の数に，小のサイコロの目を一の位の数とするとき，できた$3$桁の整数が$4$の倍数になる確率は$( ① )$となる．
(2)$(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{7})$を計算すると$( ② )$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺がそれぞれ$\mathrm{AB}=9$，$\mathrm{BC}=17$，$\mathrm{CA}=10$とするときこの三角形の面積は$( ③ )$である．
(4)$(a+b)^{12}$を展開したとき$a^7 b^5$の係数は$( ④ )$である．
(5)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$を$7:5$に外分するとき$\mathrm{AB}:\mathrm{BP}=( ⑤ )$である．