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慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2012年 第1問
$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の係数$a,\ b$を次のようにして決める.\\
$1$から$6$までの目のある正$6$面体のサイコロを$2$回投げる.$1$回目に出た目の数を$a$,$2$回目に出た目の数を$b$とする.このとき$2$次方程式の解が実数である確率は
\[ \frac{[(1)][(2)]}{[(3)][(4)]} \]
である.\\
\quad 次に$m$を自然数として,$1$から$4m$まで書かれた$4m$枚のカードから無作為に$1$枚のカードを選び,書かれた数の正の平方根を$a$とする.選んだカードをもとに戻し,再び無作為に$1$枚のカードを選び,書かれた数を$b$とする.このとき$x^2+ax+b=0$の解が実数である確率は
\[ \frac{[(5)]m-[(6)]}{[(7)][(8)]m} \]
である.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2012年 第3問
実数係数の$x$の多項式で表された関数$f(x)$は,導関数$f^{\prime}(x)$がすべての実数$x$に対して
$f^\prime (x)>0$をみたし,かつ,$f^\prime (x)$は極大値をもつとする.実数$s$に対して,点$(s,\ f(s))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$s$の関数として$g(s)$と表す.

(1)導関数$g^\prime(s)$を求めよ.
(2)関数$g(s)$は極大値と極小値をもつことを示せ.
上智大学 私立 上智大学 2012年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく使ってできる$5$桁の整数を小さい方から順に並べたとき,$70$番目の数を$100$で割った余りは$[ア]$である.
(2)$\displaystyle 16^{\log_2 3}=[イ]$である.
(3)$m^n=1024$を満たす自然数の組$(m,\ n)$は$[ウ]$通りある.その中で最小の$m$は$[エ]$,最小の$n$は$[オ]$である.
(4)$x$の式$(1+x+ax^2)^6$を展開したときの$x^4$の係数は,$a=[カ]$のときに最小値$[キ]$をとる.
明治大学 私立 明治大学 2012年 第1問
次の各問の$[ ]$にあてはまる数または式を入れよ.

(1)$\sin \theta + \cos \theta = \displaystyle\frac{1}{2}$のとき,$\sin \theta \cos \theta = - \displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である.     
(2)不等式$|5x-41|<2x+1$を満たす整数$x$の最大値は[ア][イ]であり,最小値は[ウ]である.
(3)$(x-3y+z)^6$の展開式における,$x^2y^2z^2$の項の係数は[ア][イ][ウ]である.
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$において,$2$辺$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とする.このとき,

(i) $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$で表すと,$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=[ア]$となる.
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} = [イ]\overrightarrow{\mathrm{MN}}$である.
青森中央学院大学 私立 青森中央学院大学 2012年 第2問
$(a^3+4a^2b-ab^2+3b^3)(-a^4+2a^3b+3a^2b^2+b^4)$を展開するとき,$a^4b^2$の係数の値を求めよ.
立教大学 私立 立教大学 2012年 第1問
次の空欄ア~ケに当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$(x-2y)^8$の展開式における$x^5y^3$の係数は[ア]である.
(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2-ax+2)\, dx=0$の等式を満たす定数$a$の値は[イ]である.
(3)$1$から$200$までの整数で,$3$および$7$のいずれでも割りきれない数の個数は[ウ]個である.
(4)方程式$5x+3y+z=15$を満たす自然数$x,\ y,\ z$の組の個数は[エ]個である.
(5)原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある.点$\mathrm{P}$は,サイコロを振って偶数の目が出るとその目の数に$+3$をかけた数だけ移動し,奇数の目が出るとその目の数に$-2$をかけた数だけ移動する.このサイコロを$1$回振るときの点$\mathrm{P}$の数直線上の位置の期待値は[オ]である.
(6)$a=\log_2 5,\ b=\log_2 9$とおく.$\log_4 150$を$a,\ b$を用いて表すと[カ]である.
(7)複素数$z$が$\displaystyle z=\frac{a}{1-3i}+\frac{bi}{1+3i}$で与えられたとき,$z=4i$となるような実数$a,\ b$を求めると,$a=[キ],\ b=[ク]$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(8)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に長さが等しいベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(2,\ 6)$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$がある.$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき,点$\mathrm{Q}$の$x$座標は[ケ]である.ただし,点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$2$より小さいとする.
立教大学 私立 立教大学 2012年 第1問
次の空欄ア~キに当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$0 \leqq \theta < \pi$の範囲で,$\cos^2 \theta+2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta-\sin^2 \theta$の最小値は[ア]であり,そのときの$\theta$の値は[イ]である.
(2)$\displaystyle \frac{a^x-a^{-x}}{2}=1$のとき,$x=\log_a y$と表せば,$y=[ウ]$である.ただし,$a>0$,$a \neq 1$とする.
(3)さいころを$3$回投げ,出た目を順に,百の位,十の位,一の位にして$3$桁の自然数をつくる.このとき,この自然数が$6$で割り切れ,さらに桁の並びを逆にしても$6$で割り切れる確率は[エ]である.
(4)最高次の係数が$1$の整式$P(x)$で,条件$P(2)=0,\ P(0)=1,\ P(1)=2$をみたすもののうち,最も次数の低いものは$P(x)=[オ]$である.
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(4,\ 0)$,$\mathrm{B}(6,\ 2)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の外心の座標は$([カ],\ [キ])$である.
立教大学 私立 立教大学 2012年 第1問
次の空欄ア~ケに当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$\sqrt{2} \div \sqrt[4]{4} \times \sqrt[12]{32} \div \sqrt[6]{2}=2^a$とすると$a=[ア]$である.
(2)座標空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 2,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 5)$,$\mathrm{C}(x,\ y,\ z)$がある.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$およびベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と垂直である.このとき,$(x,\ y,\ z)=[イ]$である.ただし,$x>0$,$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=1$とする.
(3)$i$を虚数単位として,複素数$x=\sqrt{3}+\sqrt{7}i$を考える.$x$と共役な複素数を$\overline{x}$とするとき,$x^3+\overline{x}^3$の値は$[ウ]$である.
(4)$\log_2x+\log_4y=1$のとき,$x^2+y$の最小値は$[エ]$である.
(5)$4$つの数字$0,\ 1,\ 2,\ 6$から,$18$で割り切れる$4$桁の数を作るとすると$[オ]$通りできる.ただし,同じ数字は$2$度以上使わないものとする.
(6)$\cos 75^\circ$の値は$[カ]$である.
(7)$\displaystyle \left( x^3-\frac{1}{2} \right)^{10}$の展開式における$x^{15}$の係数は$[キ]$である.
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする.$\angle \mathrm{OAC}=40^\circ$,$\angle \mathrm{OCB}=25^\circ$のとき,$\angle \mathrm{AOC}=[ク]$であり,$\angle \mathrm{ABO}=[ケ]$である.
自治医科大学 私立 自治医科大学 2012年 第2問
$(a^3+4a^2b-ab^2+3b^3)(-a^4+2a^3b+3a^2b^2+b^4)$を展開するとき,$a^4b^3$の係数の値を求めよ.
中央大学 私立 中央大学 2012年 第1問
実数$A,\ B,\ C$を係数とする$3$次方程式
\[ x^3+Ax^2-B^2x+C=0 \]
は$3$つの互いに異なる実数解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$をもち,$\alpha \beta \gamma \neq 0$である.このとき以下の設問に答えよ.

(1)$A,\ B,\ C$を用いて$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$を表せ.
(2)$A,\ B,\ C$を用いて$\displaystyle \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}$を表せ.
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