次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．

(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）

$k$を実数とする．$3$次式$f(x)=x^3-kx^2-1$に対し，方程式$f(x)=0$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．$g(x)$は$x^3$の係数が$1$である$3$次式で，方程式$g(x)=0$の$3$つの解が$\alpha\beta,\ \beta\gamma,\ \gamma\alpha$であるものとする．

(1)$g(x)$を$k$を用いて表せ．
(2)$2$つの方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$が共通の解をもつような$k$の値を求めよ．

整数$p,\ q \ (p \geqq q \geqq 0)$に対して$2$項係数を$\displaystyle \comb{p}{q}=\frac{p!}{q!(p-q)!}$と定める．なお$0!=1$とする．

(1)$n,\ k$が$0$以上の整数のとき，
\[ \comb{n+k+1}{k+1} \times \left( \frac{1}{\comb{n+k}{k}}-\frac{1}{\comb{n+k+1}{k}} \right) \]
を計算し，$n$によらない値になることを示せ．
(2)$m$が$3$以上の整数のとき，和$\displaystyle \frac{1}{\comb{3}{3}}+\frac{1}{\comb{4}{3}}+\frac{1}{\comb{5}{3}}+\cdots +\frac{1}{\comb{m}{3}}$を求めよ．

$P(x)$は$x^3$の係数が$1$の$3$次式である．$P(x)$を$x-1$で割ったときの余りが$-3$である．また，$P(x)$を$x-2$で割ると割り切れ，その商を$Q(x)$とする．$Q(x)$を$x+3$で割ると余りが$7$である．

(1)$Q(x)$を$x-1$で割ったときの余りを求めよ．
(2)$Q(x)$を求めよ．
(3)$P(x)$を$(x-1)(x+3)$で割ったときの商と余りを求めよ．

$P(x)$は$x^3$の係数が$1$の$3$次式である．$P(x)$を$x-1$で割ったときの余りが$-3$である．また，$P(x)$を$x-2$で割ると割り切れ，その商を$Q(x)$とする．$Q(x)$を$x+3$で割ると余りが$7$である．

(1)$Q(x)$を$x-1$で割ったときの余りを求めよ．
(2)$Q(x)$を求めよ．
(3)$P(x)$を$(x-1)(x+3)$で割ったときの商と余りを求めよ．

1次関数$f(x)=px+q$に対して，$x$の係数$p$と定数項$q$を成分にもつベクトル$(p,\ q)$を$\overrightarrow{f}$とする．つまり，$\overrightarrow{f}=(p,\ q)$とする．次の問いに答えよ．

(1)定積分
\[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (kx+l)(mx+n) \, dx \]
を求めよ．ただし，$k,\ l,\ m,\ n$は定数である．
(2)2つの1次関数$g(x)$と$h(x)$に対して，等式
\[ \frac{1}{2 \sqrt{3}} \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} g(x)h(x) \, dx=\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h} \]
が成り立つことを示せ．ただし，$\overrightarrow{g} \cdot \overrightarrow{h}$はベクトル$\overrightarrow{g}$，$\overrightarrow{h}$の内積を表す．
(3)等式
\[ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)^2 \, dx \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \{g(x)\}^2 \, dx=\left\{ \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (2x+1)g(x) \, dx \right\}^2 \]
を満たし，$g(0)=-2$であるような1次関数$g(x)$を求めよ．

$3$次の整式$P(x)$は，次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たしている．

$(ⅰ)$ $P(x)$の$x^3$の係数は$1$である．
$(ⅱ)$ $P(x)$は$(x-1)^2$で割り切れる．
$(ⅲ)$ $P(x)$を$x+1$で割った余りと，$x^2-x-2$で割った余りは等しい．

このとき，次の各問に答えよ．

(1)$P(x)$を求めよ．
(2)$\{P(x)\}^2$を$(x+1)^2$で割った余りを求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)式$(a+b)^6$を展開したときの$a^3b^3$の項の係数を求めよ．
(2)$6$個の引き出しがあり，そのすべてに書類$a$と書類$b$が$1$部ずつ入っている．書類$a$を$4$部と書類$b$を$2$部取り出したい．

(i) $1$個の引き出しから，書類$a$または書類$b$のどちらかしか取り出せないとき，取り出し方は何通りあるか．
(ii) $1$個の引き出しから，書類$a$と書類$b$の両方を取り出してもよいし，片方のみを取り出してもよいし，どちらも取り出さなくてもよいとき，取り出し方は何通りあるか．

(3)(2)$ \ (ⅱ)$における書類の取り出し方の場合の数は，式
\[ (ab+a+b+1)^6 \]
を展開したときの$a^4b^2$の項の係数に等しくなる．その理由をのべよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$2(3x^3-2x-2)^5$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$a+b+c=9$を満たす正の整数$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は何通りあるか．
(3)$3$個のさいころを同時に投げたときに，出た目の積が偶数である確率を求めよ．
(4)$1$から$500$までの整数のうち，以下の条件を満たす数の個数をそれぞれ求めよ．
$(ⅰ)$ $6$と$8$の両方で割り切れる数， \quad $(ⅱ)$ $6$でも$8$でも割り切れない数

式$(2x+3y+xy)^8$の展開式における，項$x^7y^5$，$x^6y^6$のそれぞれの係数を求めよ．