「係数」について
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国立 福岡教育大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$は正の定数で，$a \neq 1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]
(1)${(x-3y+2z)}^7$の展開式における$x^4y^2z$の項の係数を求めよ．
(2)$a$は正の定数で，$a \neq 1$とする．不等式
\[ \log_a (a-x-y)>\log_ax+\log_ay \]
が表す領域を図示せよ．
(3)$n$は$3$以上の自然数とする．数学的帰納法によって，次の不等式を証明せよ．
\[ 2^n>\frac{1}{2}n^2+n \]
国立 宮城教育大学 2015年 第2問実数$p,\ q$に対して，
\[ f(x)=x^2+px+q,\quad g(x)=x^3-3x \]
とおく．$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$として，次の問に答えよ．
(1)$2$次方程式の解と係数の関係を用いて，積$g(\alpha)g(\beta)$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$であるとき，点$(p,\ q)$の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$ならば，$\alpha$と$\beta$は実数であることを示せ．
\[ f(x)=x^2+px+q,\quad g(x)=x^3-3x \]
とおく．$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$として，次の問に答えよ．
(1)$2$次方程式の解と係数の関係を用いて，積$g(\alpha)g(\beta)$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$であるとき，点$(p,\ q)$の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$ならば，$\alpha$と$\beta$は実数であることを示せ．
国立 宮城教育大学 2015年 第2問実数$p,\ q$に対して，
\[ f(x)=x^2+px+q,\quad g(x)=x^3-3x \]
とおく．$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$として，次の問に答えよ．
(1)$2$次方程式の解と係数の関係を用いて，積$g(\alpha)g(\beta)$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$であるとき，点$(p,\ q)$の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$ならば，$\alpha$と$\beta$は実数であることを示せ．
\[ f(x)=x^2+px+q,\quad g(x)=x^3-3x \]
とおく．$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$として，次の問に答えよ．
(1)$2$次方程式の解と係数の関係を用いて，積$g(\alpha)g(\beta)$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$であるとき，点$(p,\ q)$の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$ならば，$\alpha$と$\beta$は実数であることを示せ．
国立 名古屋大学 2015年 第3問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \left( \sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}} \right)^2$を計算し，$2$重根号を用いない形で表せ．
(2)$\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}}$とするとき，整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha)=0$となるもののうち，$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ．
(3)$8$つの実数
\[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9+2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9-2 \sqrt{17}} \]
（ただし，複号$\pm$はすべての可能性にわたる）の中で，$(2)$で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求めよ．
(1)$\displaystyle \left( \sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}} \right)^2$を計算し，$2$重根号を用いない形で表せ．
(2)$\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}}$とするとき，整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha)=0$となるもののうち，$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ．
(3)$8$つの実数
\[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9+2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9-2 \sqrt{17}} \]
（ただし，複号$\pm$はすべての可能性にわたる）の中で，$(2)$で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求めよ．
国立 名古屋大学 2015年 第2問次の問に答えよ．
(1)$\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}}$とするとき，整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha)=0$となるもののうち，$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ．
(2)$8$つの実数
\[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9+2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9-2 \sqrt{17}} \]
（ただし，複号$\pm$はすべての可能性にわたる）の中で，$(1)$で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求め，それ以外のものが解でないことを示せ．
(3)$(2)$で求めた$f(x)=0$の解の大小関係を調べ，それらを大きい順に並べよ．
(1)$\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}}$とするとき，整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha)=0$となるもののうち，$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ．
(2)$8$つの実数
\[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9+2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9-2 \sqrt{17}} \]
（ただし，複号$\pm$はすべての可能性にわたる）の中で，$(1)$で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求め，それ以外のものが解でないことを示せ．
(3)$(2)$で求めた$f(x)=0$の解の大小関係を調べ，それらを大きい順に並べよ．
国立 信州大学 2015年 第4問$n$を自然数とする．
(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．
(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．
国立 信州大学 2015年 第3問$n$を自然数とする．
(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．
(1)$n$以下の非負の整数$k$について，関数$x(1+x)^n$の導関数の$x^k$の係数を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n (k+1)^2 \comb{n}{k}=(n+1)(n+4)2^{n-2}$を示せ．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)式$(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)$を展開したときの$xyz$の係数は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が$\displaystyle \frac{i}{1+xi}+\frac{x+2}{y+i}=0$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 x |x-1| \, dx$を求めると$[エ]$である．
(4)$2^{\frac{1}{2}},\ 3^{\frac{1}{3}},\ 5^{\frac{1}{5}}$の大小関係は$[オ]<[カ]<[キ]$である．
(5)不等式$\displaystyle (\log_2 x)^2+\log_2 \frac{x}{2}<1$を満たす$x$の範囲は$[ク]$である．
(6)半径$1$の円に内接する正$n$角形の周の長さは$[ケ]$である．
(7)座標空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 5)$，$\mathrm{B}(4,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 0)$が一直線上にあるとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$である．
(8)円$x^2+y^2=1$と直線$y=kx+2 (k>0)$が接するとき，その接点の座標は$[シ]$である．
(1)式$(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)$を展開したときの$xyz$の係数は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が$\displaystyle \frac{i}{1+xi}+\frac{x+2}{y+i}=0$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 x |x-1| \, dx$を求めると$[エ]$である．
(4)$2^{\frac{1}{2}},\ 3^{\frac{1}{3}},\ 5^{\frac{1}{5}}$の大小関係は$[オ]<[カ]<[キ]$である．
(5)不等式$\displaystyle (\log_2 x)^2+\log_2 \frac{x}{2}<1$を満たす$x$の範囲は$[ク]$である．
(6)半径$1$の円に内接する正$n$角形の周の長さは$[ケ]$である．
(7)座標空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 5)$，$\mathrm{B}(4,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 0)$が一直線上にあるとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$である．
(8)円$x^2+y^2=1$と直線$y=kx+2 (k>0)$が接するとき，その接点の座標は$[シ]$である．
私立 東京理科大学 2015年 第1問次の文章の$[ア]$から$[ム]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めなさい．
(1)$c$を定数として，$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{3}x(x-1)(x-c) \]
と定める．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$において
\[ f^\prime(\alpha)=0,\quad f^\prime(\beta)=0 \]
を満たすものとする．
解と係数の関係により，
\[ \alpha+\beta=\frac{[ア]}{[イ]}(c+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{[ウ]}c \]
である．したがって
$\displaystyle\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta}=-\frac{[エ]}{[オ][カ]}(c^2-c+[キ])$
$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ク]}{[ケ]}(c^2-c+1)$
となるので，$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき
\[ f(\alpha)-f(\beta)=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ][シ]} \]
である．
(2)定数$\theta$に対して，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\cos (2^{n-1}\theta) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．
(i) 余弦の$2$倍角の公式により，数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+1}=[ス] {a_n^2}-1 \]
を満たす．
(ii) $\theta$が$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{3}$を満たすとき
\[ a_3=\frac{[セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
である．
(iii) $\displaystyle \theta=\frac{5}{96}\pi$とするとき
\[ a_{n+1}=a_n \]
を満たす最小の正の整数$n$は$[ツ]$である．
(3)大，中，小の$3$個のさいころを同時に投げるものとする．
(i) $1$の目が少なくとも$1$つ出る確率は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{[ナ][ニ][ヌ]}$である．
(ii) 出る目の最大値が$5$である確率は$\displaystyle \frac{[ネ][ノ]}{[ハ][ヒ][フ]}$である．
(iii) 大のさいころの目は中のさいころの目以上であり，かつ，小のさいころの目は中のさいころの目以下である確率は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 大と小のさいころの目の平均が中のさいころの目と等しい確率は$\displaystyle \frac{1}{[ミ][ム]}$である．
(1)$c$を定数として，$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{3}x(x-1)(x-c) \]
と定める．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$において
\[ f^\prime(\alpha)=0,\quad f^\prime(\beta)=0 \]
を満たすものとする．
解と係数の関係により，
\[ \alpha+\beta=\frac{[ア]}{[イ]}(c+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{[ウ]}c \]
である．したがって
$\displaystyle\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta}=-\frac{[エ]}{[オ][カ]}(c^2-c+[キ])$
$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ク]}{[ケ]}(c^2-c+1)$
となるので，$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき
\[ f(\alpha)-f(\beta)=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ][シ]} \]
である．
(2)定数$\theta$に対して，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\cos (2^{n-1}\theta) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．
(i) 余弦の$2$倍角の公式により，数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+1}=[ス] {a_n^2}-1 \]
を満たす．
(ii) $\theta$が$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{3}$を満たすとき
\[ a_3=\frac{[セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
である．
(iii) $\displaystyle \theta=\frac{5}{96}\pi$とするとき
\[ a_{n+1}=a_n \]
を満たす最小の正の整数$n$は$[ツ]$である．
(3)大，中，小の$3$個のさいころを同時に投げるものとする．
(i) $1$の目が少なくとも$1$つ出る確率は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{[ナ][ニ][ヌ]}$である．
(ii) 出る目の最大値が$5$である確率は$\displaystyle \frac{[ネ][ノ]}{[ハ][ヒ][フ]}$である．
(iii) 大のさいころの目は中のさいころの目以上であり，かつ，小のさいころの目は中のさいころの目以下である確率は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 大と小のさいころの目の平均が中のさいころの目と等しい確率は$\displaystyle \frac{1}{[ミ][ム]}$である．
私立 東京電機大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x-\sin x}{\sin 5x+\sin x}$を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．
(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x-\sin x}{\sin 5x+\sin x}$を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．