座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 2)$，$\mathrm{D}(0,\ 1)$をとる．直線$x=1$を$\ell$，直線$x=-1$を$m$とする．また，$x$軸上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(t,\ 0)$をとり，直線$\mathrm{CP}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{Q}(1,\ u)$，直線$\mathrm{DP}$と直線$m$の交点を$\mathrm{R}(-1,\ v)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(2)$u,\ v$が共に正となるような$t$の範囲と，そのときの台形$\mathrm{QABR}$の面積のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)線分$\mathrm{QR}$は$t$に依存しないある定点$\mathrm{E}$を通ることを示せ．また，$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円を$C$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を原点に関して対称な位置にとる．また，点$\mathrm{Q}$を平面上の任意の点とし，$L={\mathrm{QP}_1}^2+{\mathrm{QP}_2}^2$とおく．

(1)$\mathrm{Q}$を固定したとき，$L$は$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$のとり方に依存せず一定であることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$が放物線$y=-x^2+5x-8$上を動くとき，$L$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．