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国立 山形大学 2011年 第4問次の問に答えよ．
(1)自然数$p,\ q$を自然数$m$で割ったときの余りをそれぞれ$r,\ s$とする．このとき，$pq-rs$は$m$の倍数であることを示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$3^n$を4で割ったときの余りを求めよ．
(3)$n$を自然数とし，$r$を実数とするとき，二項展開を利用して
\[ \sum_{k=1}^n {}_{2n} \text{C}_{2k-1} \cdot r^{2k-1} \]
を求めよ．
(4)サイコロを$2n$回振り，出た目をすべて掛け合わせた数を$X_n$とする．使用するサイコロの目は1，2，3，4，5，6であり，どの目の出る確率も$\displaystyle \frac{1}{6}$である．このとき，$X_n$を4で割ったときの余りが3である確率$P_n$を求めよ．
(1)自然数$p,\ q$を自然数$m$で割ったときの余りをそれぞれ$r,\ s$とする．このとき，$pq-rs$は$m$の倍数であることを示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$3^n$を4で割ったときの余りを求めよ．
(3)$n$を自然数とし，$r$を実数とするとき，二項展開を利用して
\[ \sum_{k=1}^n {}_{2n} \text{C}_{2k-1} \cdot r^{2k-1} \]
を求めよ．
(4)サイコロを$2n$回振り，出た目をすべて掛け合わせた数を$X_n$とする．使用するサイコロの目は1，2，3，4，5，6であり，どの目の出る確率も$\displaystyle \frac{1}{6}$である．このとき，$X_n$を4で割ったときの余りが3である確率$P_n$を求めよ．
国立 大分大学 2010年 第1問円周率$\pi$に関して次の不等式が成立することを証明せよ．ただし，数値$\pi=3.141592 \cdots$を使用して直接比較する解答は0点とする．
\[ 3\sqrt{6} -3\sqrt{2} <\pi <24-12\sqrt{3} \]
\[ 3\sqrt{6} -3\sqrt{2} <\pi <24-12\sqrt{3} \]
公立 名古屋市立大学 2010年 第2問負でない実数を$a$とする．$xy$平面上で$\displaystyle 0 \leqq x \leqq a,\ 0 \leqq y \leqq \frac{1}{1+x}$を満たす領域を$A$とし，$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_1$，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_2$とする．次の問いに答えよ．
(1)$V_1$を求めよ．
(2)$V_2$を求めよ．
(3)$V_1-V_2$が最大となるときの$a$の値を$p$とおく．$p$を求め，$p<1$を示せ．
(4)$p<a<1$において$V_1=V_2$となる$a$が存在することを示せ．ただし，$\log 2<0.7$を使用してもよい．
(1)$V_1$を求めよ．
(2)$V_2$を求めよ．
(3)$V_1-V_2$が最大となるときの$a$の値を$p$とおく．$p$を求め，$p<1$を示せ．
(4)$p<a<1$において$V_1=V_2$となる$a$が存在することを示せ．ただし，$\log 2<0.7$を使用してもよい．