「作業」について
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国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問$3$枚のカードに，$1$，$2$，$3$の各数字が書かれている．この$3$枚のカードから$1$枚引き，そこに書いてある数字を記録してカードを戻す，という作業を$n$回繰り返す．ただし，何回目の作業であっても，どのカードを引く確率も等しいとする．一度も引かなかったカードがあった場合に限り，$n$回引いて得た数字のうち一番大きいものを得点として獲得するものとする．\\
例えば$n=5$のとき，引いた数字が順に$2$，$2$，$3$，$3$，$2$であれば$3$点を獲得し，$2$，$1$，$2$，$2$，$3$であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．
(1)$1$点を獲得する確率を求めよ．
(2)$2$点を獲得する確率を求めよ．
(3)$3$点を獲得する確率を求めよ．
(4)獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数$n$の値を全て求め，そのときの期待値を求めよ．
例えば$n=5$のとき，引いた数字が順に$2$，$2$，$3$，$3$，$2$であれば$3$点を獲得し，$2$，$1$，$2$，$2$，$3$であれば得点は獲得しない．\\
以下の問いに答えよ．
(1)$1$点を獲得する確率を求めよ．
(2)$2$点を獲得する確率を求めよ．
(3)$3$点を獲得する確率を求めよ．
(4)獲得する得点の期待値が最大になるような作業の回数$n$の値を全て求め，そのときの期待値を求めよ．
公立 北九州市立大学 2012年 第4問赤球$2$個，青球$3$個，緑球$1$個が入った白い箱がある．この白い箱から無作為に$1$個の球を取り出し，球の色を確認後，球を白い箱に戻す作業を試行$\mathrm{A}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)試行$\mathrm{A}$を$5$回繰り返すときに，取り出される$5$個の球のうち，$3$個が青球である確率を求めよ．
(2)試行$\mathrm{A}$を$4$回繰り返すときに，少なくとも赤球が$2$個出る確率を求めよ．
次に，赤い箱，青い箱，緑の箱に数字の書かれたカードが$4$枚ずつ入っていて，それぞれの箱のカードに書かれた数字と枚数は次の通りとする．
\begin{itemize}
赤い箱：$1$が$2$枚，$2$が$1$枚，$3$が$1$枚
青い箱：$1$が$1$枚，$2$が$2$枚，$3$が$1$枚
緑の箱：$1$が$2$枚，$2$が$2$枚
\end{itemize}
試行$\mathrm{A}$を$1$回実施し，取り出した球と同じ色の箱から無作為に$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれた数字を確認後，カードを元の箱に戻す作業を試行$\mathrm{B}$とする．
(3)試行$\mathrm{B}$を$1$回実施するときに，出る数字の期待値を求めよ．
(4)試行$\mathrm{B}$を$2$回繰り返すときに，出る$2$個の数字の合計が偶数である確率を求めよ．
(5)動点$\mathrm{P}$は数直線上の原点から出発し，奇数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ正の方向に動き，偶数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ負の方向に動くこととする．試行$\mathrm{B}$を$4$回繰り返したとき，動点$\mathrm{P}$の座標が$3$である確率を求めよ．
(1)試行$\mathrm{A}$を$5$回繰り返すときに，取り出される$5$個の球のうち，$3$個が青球である確率を求めよ．
(2)試行$\mathrm{A}$を$4$回繰り返すときに，少なくとも赤球が$2$個出る確率を求めよ．
次に，赤い箱，青い箱，緑の箱に数字の書かれたカードが$4$枚ずつ入っていて，それぞれの箱のカードに書かれた数字と枚数は次の通りとする．
\begin{itemize}
赤い箱：$1$が$2$枚，$2$が$1$枚，$3$が$1$枚
青い箱：$1$が$1$枚，$2$が$2$枚，$3$が$1$枚
緑の箱：$1$が$2$枚，$2$が$2$枚
\end{itemize}
試行$\mathrm{A}$を$1$回実施し，取り出した球と同じ色の箱から無作為に$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれた数字を確認後，カードを元の箱に戻す作業を試行$\mathrm{B}$とする．
(3)試行$\mathrm{B}$を$1$回実施するときに，出る数字の期待値を求めよ．
(4)試行$\mathrm{B}$を$2$回繰り返すときに，出る$2$個の数字の合計が偶数である確率を求めよ．
(5)動点$\mathrm{P}$は数直線上の原点から出発し，奇数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ正の方向に動き，偶数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ負の方向に動くこととする．試行$\mathrm{B}$を$4$回繰り返したとき，動点$\mathrm{P}$の座標が$3$である確率を求めよ．
私立 立教大学 2011年 第2問袋に赤玉が$1$個，白玉が$2$個の合計$3$個の玉が入っている．袋から玉$1$個を取り出し，玉の色を確認し，また袋に戻す，という作業を$2$回行い，これを$1$回の試行と考える．この試行を使って，$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君の$2$人が以下のようなゲームをすることにした．
\begin{itemize}
取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤であれば，$\mathrm{A}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白であれば，$\mathrm{B}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色が$2$回とも同じ色であれば，引き分けとし，試行を続ける．
\end{itemize}
また，どちらか$1$人が勝ち抜けた後も，同様に玉を$2$回出し入れする試行を続け，以下の場合にゲームを終了させることにした．
\begin{itemize}
残った$1$人が$\mathrm{A}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤である場合．
残った$1$人が$\mathrm{B}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白である場合．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$1$回目の試行で，$\mathrm{A}$君が勝ち抜ける確率，$\mathrm{B}$君が勝ち抜ける確率，引き分けになる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$3$回目の試行でゲームが終了する確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$君のほうが早く勝ち抜けし，その後，$n$回目の試行で$\mathrm{B}$君がゲームを終了させる確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n \geqq 2$とし，$n$には$\mathrm{A}$君が勝ち抜けるまでの試行の回数も含むものとする．
\begin{itemize}
取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤であれば，$\mathrm{A}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白であれば，$\mathrm{B}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色が$2$回とも同じ色であれば，引き分けとし，試行を続ける．
\end{itemize}
また，どちらか$1$人が勝ち抜けた後も，同様に玉を$2$回出し入れする試行を続け，以下の場合にゲームを終了させることにした．
\begin{itemize}
残った$1$人が$\mathrm{A}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤である場合．
残った$1$人が$\mathrm{B}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白である場合．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$1$回目の試行で，$\mathrm{A}$君が勝ち抜ける確率，$\mathrm{B}$君が勝ち抜ける確率，引き分けになる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$3$回目の試行でゲームが終了する確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$君のほうが早く勝ち抜けし，その後，$n$回目の試行で$\mathrm{B}$君がゲームを終了させる確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n \geqq 2$とし，$n$には$\mathrm{A}$君が勝ち抜けるまでの試行の回数も含むものとする．
私立 藤田保健衛生大学 2011年 第2問ある動物の染色体$10$種類の中から無作為に$1$つ選ぶ作業を$5$回行った．ただし何度この作業を行っても，これら$10$種類の染色体の選び易さは常に同様であるものとする．
(1)$5$回ともすべて異なる種類の染色体を選ぶ確率は$[ ]$である．
(2)$5$回中ある$1$種類の染色体が$3$回，それと異なるもう$1$種類の染色体が$2$回それぞれ選ばれる確率は$[ ]$である．
(1)$5$回ともすべて異なる種類の染色体を選ぶ確率は$[ ]$である．
(2)$5$回中ある$1$種類の染色体が$3$回，それと異なるもう$1$種類の染色体が$2$回それぞれ選ばれる確率は$[ ]$である．