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沖縄国際大学 私立 沖縄国際大学 2015年 第3問
以下の各問いに答えなさい.

(1)次の関数のグラフを$x$軸方向に$-2$,$y$軸方向に$4$だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ.
\[ y=x^2-4x+12 \]
(2)実数$x,\ y$について$4$次関数$y=(x^2+4x)^2+4x^2+16x+5$において,$-3 \leqq x \leqq 1$における最大値,最小値を求めよ.
(3)菱形の凧を作成したい.使用できる凧の骨が$14 \, \mathrm{cm}$で,凧の骨は対角線に配置する.このとき,凧の大きさ(面積)の最大値を求めよ.また,周の長さの最小値も求めよ.
福岡女子大学 公立 福岡女子大学 2015年 第3問
以下の問に答えなさい.

(1)定積分$\displaystyle \int_0^3 (9-x^2) \, dx$の値を求めなさい.
(2)$k>0$とする.定義域を$-3 \leqq x \leqq 3$とする関数
\[ f(x)=k(9-x^2) \]
のグラフ$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積が$1$となるような$k$の値を求めなさい.
(3)$k$は$(2)$で求めた値とし,$-3 \leqq t \leqq 3$とする.$x \leqq t$のとき,グラフ$y=f(x)$,$x$軸および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$F(t)$を$t$の式で表しなさい.
(4)$(3)$で求めた$t$の関数$F(t)$の増減表を作成し,関数$y=F(t)$のグラフの概形を描きなさい.
福岡女子大学 公立 福岡女子大学 2015年 第3問
関数
\[ f(x)=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2} \quad (x \neq 1,\ x \neq 2) \]
について,以下の問に答えなさい.

(1)$2$つの関数$\displaystyle y=\frac{2}{x-1} (x \neq 1)$と$\displaystyle y=-\frac{1}{x-2} (x \neq 2)$のグラフの概形を同じ座標平面上に描きなさい.
(2)$f(x)$の増減表を作成し,$f(x)$の極小値が$3+2 \sqrt{2}$,極大値が$3-2 \sqrt{2}$となることを示しなさい.
(3)関数$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描きなさい.
大阪府立大学 公立 大阪府立大学 2015年 第5問
座標平面上において,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_0$に,半径$1$の円$C_1$が外接しながらすべることなく回転する.点$\mathrm{A}$を動く円$C_1$の中心とし,点$\mathrm{P}$を円$C_1$の円周上の定点とする.最初,点$\mathrm{A}$は座標$(2,\ 0)$の位置にあり,点$\mathrm{P}$は座標$(1,\ 0)$の位置にある.円$C_1$が円$C_0$の周りを反時計まわりに一周し,点$\mathrm{A}$が座標$(2,\ 0)$に戻ってくるとき,点$\mathrm{P}$のえがく曲線を$C$とする.動径$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の部分から角$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$だけ回転した位置にあるとき,点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta),\ y(\theta))$について,
\[ x(\theta)=2 \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y(\theta)=2 \sin \theta-\sin 2\theta \]
が成り立つことを示せ.
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{d\theta} x(\theta)$を求め,$x(\theta)$の$\theta$に関する増減表を作成せよ.ただし,凹凸については言及しなくてよい.
(3)曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2014年 第7問
$2$つの確率変数$X,\ Y$の確率分布を同時に考えた表(同時確率分布表)が下のように与えられている.ただし,$X,\ Y$は互いに独立であり,$0<a<1$,$0<b<1$とする.このとき,次の各問いに答えよ.
(図は省略)

(1)表を完成させ,完成させた表を書け.
(2)確率変数$W=X-Y$の平均$E(W)$を求めよ.
(3)確率変数$\displaystyle Z=\frac{Y}{X}$の確率分布表を作成し,$Z$の平均$E(Z)$を求めよ.
(4)$\displaystyle E(Z)=\frac{9}{4},\ E(W)=-\frac{3}{2}$となる場合に,$Z$の分散$V(Z)$を求めよ.
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2014年 第2問
関数$\displaystyle f(x)=\frac{3 \sqrt{3}}{\sin x}-\frac{1}{\cos x} \left( 0<|x|<\frac{\pi}{2} \right)$を考える.以下の問いに答えよ.

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し,極値を求めよ.
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は,$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて,
\[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \]
と表されることを示せ.また,$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ.
(3)$k$を定数とするとき,方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか.$k$の値によって分類せよ.
(4)$y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ.また,この変曲点が第何象限にあるか,調べよ.
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2012年 第1問
関数$f(x)=1+\sin x+\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を考える.以下の問いに答えよ.

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し,極値を求めよ.
(2)$\displaystyle x=\frac{5}{12}\pi$のとき,和$\sin x+\cos x$と積$\sin x \cos x$の値をそれぞれ求めよ.
(3)次の不等式$(ⅰ),\ (ⅱ)$がそれぞれ成り立つことを証明せよ.また,等号がいつ成立するか.それぞれ調べよ.

(i) $f(x) \geqq \sin x (1+\sqrt{2}+\cos x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$
(ii) $(\sin x+\cos x) \left( \displaystyle\frac{7}{4}-\sin x \cos x \right) \leqq \left( \displaystyle\frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$
信州大学 国立 信州大学 2010年 第2問
10個の文字$a,\ a,\ a,\ b,\ b,\ c,\ c,\ d,\ e,\ f$から4個の文字を選び,1列に並べて文字列を作成する.

(1)同じ文字を3個含む文字列の総数を求めよ.
(2)文字がすべて異なる文字列の総数を求めよ.
(3)作成可能な文字列の総数を求めよ.
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