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東京理科大学 私立 東京理科大学 2015年 第1問
次の文章の$[ア]$から$[ム]$までに当てはまる数字$0$~$9$を求めなさい.

(1)$c$を定数として,$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{3}x(x-1)(x-c) \]
と定める.$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$において
\[ f^\prime(\alpha)=0,\quad f^\prime(\beta)=0 \]
を満たすものとする.
解と係数の関係により,
\[ \alpha+\beta=\frac{[ア]}{[イ]}(c+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{[ウ]}c \]
である.したがって


$\displaystyle\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta}=-\frac{[エ]}{[オ][カ]}(c^2-c+[キ])$

$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ク]}{[ケ]}(c^2-c+1)$


となるので,$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき
\[ f(\alpha)-f(\beta)=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ][シ]} \]
である.
(2)定数$\theta$に対して,数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\cos (2^{n-1}\theta) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める.

(i) 余弦の$2$倍角の公式により,数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+1}=[ス] {a_n^2}-1 \]
を満たす.
(ii) $\theta$が$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{3}$を満たすとき
\[ a_3=\frac{[セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
である.
(iii) $\displaystyle \theta=\frac{5}{96}\pi$とするとき
\[ a_{n+1}=a_n \]
を満たす最小の正の整数$n$は$[ツ]$である.

(3)大,中,小の$3$個のさいころを同時に投げるものとする.

(i) $1$の目が少なくとも$1$つ出る確率は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{[ナ][ニ][ヌ]}$である.
(ii) 出る目の最大値が$5$である確率は$\displaystyle \frac{[ネ][ノ]}{[ハ][ヒ][フ]}$である.
(iii) 大のさいころの目は中のさいころの目以上であり,かつ,小のさいころの目は中のさいころの目以下である確率は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}$である.
\mon[$\tokeishi$] 大と小のさいころの目の平均が中のさいころの目と等しい確率は$\displaystyle \frac{1}{[ミ][ム]}$である.
公立はこだて未来大学 公立 公立はこだて未来大学 2015年 第2問
以下の問いに答えよ.

(1)正弦,余弦に関する加法定理
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を用いて等式
\[ \sin 3x=3 \sin x-4 \sin^3 x \]
を証明せよ.
(2)関数$y=\sin 3x+3 \cos 2x+6 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値と最小値,およびそのときの$x$の値をすべて求めよ.
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2014年 第1問
以下の問いの空欄$[ア]$~$[ス]$に適する数値,式などを記せ.

(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり,この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき,この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である.この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると,三角形の面積は$[キ]$である.
(3)同じ$2$つの箱と,同じ$4$つの球がある.$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである.また,大小の$2$つの箱と,$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき,すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである.ただし,片方の箱のみに球が入っている場合も含む.
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき,$x^2+y^2$の値は$[コ]$,$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる.
(5)大小の$2$個のさいころを投げ,出た目が同じ場合は$10$点,大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点,それ以外の場合には得点は得られないとするとき,点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で,得点の期待値は$[ス]$点である.
東京大学 国立 東京大学 2012年 第1問
次の連立不等式で定まる座標平面上の領域$D$を考える.
\[ x^2+ (y-1)^2 \leqq 1, \quad x \geqq \frac{\sqrt{2}}{3} \]
直線$\ell$は原点を通り,$D$との共通部分が線分となるものとする.その線分の長さ$L$の最大値を求めよ.また,$L$が最大値をとるとき,$x$軸と$\ell$のなす角$\theta\ (0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2})$の余弦$\cos \theta$を求めよ.
京都府立大学 公立 京都府立大学 2011年 第1問
$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$つの角$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$のそれぞれの大きさを$A,\ B,\ C$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$を余弦の加法定理から導け.
(2)$(1)$の結果を用いて$\displaystyle \cos A+\cos B \leqq 2\sin \frac{C}{2}$を示せ.また,等号が成り立つのはどのようなときか.
(3)$(2)$の結果を用いて$\cos A+\cos B+\cos C$が最大となるとき,$A,\ B,\ C$を求めよ.
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