次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 1$のとき，不等式$2 \sqrt{x}>1+\log x$が成り立つことを証明せよ．
(2)関数$y=x \log x (x>0)$のグラフを曲線$C$とする．定数$a$に対し，曲線$C$の接線で点$(a,\ 0)$を通るものは何本あるか．
(3)$(2)$で定められた曲線$C$とその傾き$2$の接線および直線$x=e^{-2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$x>0$で定義された曲線$y=\log x$を$C$とする．以下の問いに答えよ．

ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0}x \log x=0$を用いてよい．$a$を定数とする．

(1)点$(a,\ 0)$から$C$に何本の接線が引けるか調べよ．
(2)$C$の法線で点$(a,\ 0)$を通るものがちょうど$1$本あることを示せ．
(3)原点$(0,\ 0)$を通る$C$の接線，$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$は次の条件を満たすとする．
\begin{itemize}
楕円$C$は点$\mathrm{A}(0,\ -1)$を通る
楕円$C$の右焦点と直線$x-y+2 \sqrt{2}=0$の距離は$3$である（ただし，楕円の右焦点とは，楕円の$2$つの焦点のうち，$x$座標が正のものをさす．）
\end{itemize}

(1)$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,\ p)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り，次の条件を満たす直線$\ell$が$p$の値によって何本引けるかを調べなさい．
\begin{itemize}
直線$\ell$は楕円$C$と異なる$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$で交わり，$\mathrm{AM}=\mathrm{AN}$が成り立つ．
\end{itemize}

以下の問いに答えよ．

(1)$t>0$のとき
\[ e^t>1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6} \]
が成り立つことを示せ．
(2)座標平面上の点$(0,\ a)$を通って曲線$y=xe^x$に何本の接線が引けるか求めよ．

$a,\ b$を実数とするとき，関数$f(x)=x^3-ax^2+bx$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a=1,\ b=-1$のとき，$y=f(x)$のグラフの接線で点$(-1,\ 1)$を通るものは何本あるか答えよ．また，このときの各接点の$x$座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフが傾き$1$の接線をちょうど$2$本持つための条件を，実数の組$(a,\ b)$を座標平面上に図示することで与えよ．

$a,\ b$を実数とするとき，関数$f(x)=x^3-ax^2+bx$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a=1,\ b=-1$のとき，$y=f(x)$のグラフの接線で点$(-1,\ 1)$を通るものは何本あるか答えよ．また，このときの各接点の$x$座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフが傾き$1$の接線をちょうど$2$本持つための条件を，実数の組$(a,\ b)$を座標平面上に図示することで与えよ．