「体積」について
タグ「体積」の検索結果
（9ページ目：全290問中81問～90問を表示）
私立 中京大学 2015年 第7問底面が直径$D \, \mathrm{mm}$の円であり，高さが$22 \, \mathrm{mm}$の直円柱の容器がある．ただし，底面および側面の厚さは$0 \, \mathrm{mm}$としてよい．この容器に水を満杯に入れ，その上に半径$R=18 \, \mathrm{mm} (2R>D)$の球体を載せたところ，容器の水が溢れだした．その後，球体を取り除くと容器の水位が$5 \, \mathrm{mm}$低くなった．このとき，溢れだした水の体積は$D$を用いて$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}D^2 \pi \, \mathrm{mm}^3$と表すことができ，容器の底面の直径は$D=[ウエ] \sqrt{[オ]} \, \mathrm{mm}$である．
私立 藤田保健衛生大学 2015年 第4問下図のように太陽が雲間から見えた．観察された太陽を半径$r$の円と仮定し，図のように見えた太陽の円周上の$2$点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$，円周上に一点$\mathrm{D}$を線分$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AB}$が互いに直交するようにとる．$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{CD}=c$とおくとき，$r$と$a,\ c$の関係を式で表わすと$[$8$]$となる．このとき$r$の最小値を$c$を用いて表わすと，$[$9$]$である．また$c<r$の場合，観察された太陽の中心を$\mathrm{O}$とする．この円を$\mathrm{OD}$を通る直径を軸に回転させてできる球において$\mathrm{AB}$を通り$\mathrm{OD}$に垂直な平面で$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{D}$を含む部分の体積を$a,\ c$を用いて表すと$[$10$]$である．
（図は省略）
（図は省略）
公立 大阪市立大学 2015年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{O}^\prime$，$\triangle \mathrm{OBC}$の重心を$\mathrm{A}^\prime$，$\triangle \mathrm{OCA}$の重心を$\mathrm{B}^\prime$，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{C}^\prime$とする．次の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}$は平行であることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}|$の比を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は相似であることを示せ．
(4)$\mathrm{A}$が$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$と$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ 0)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{B}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}(0,\ 0,\ 3)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{C}$が$\mathrm{R}$と$\mathrm{P}$を結ぶ線分の中点であるとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$と四面体$\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$の体積$V^\prime$を求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}$は平行であることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}|$の比を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は相似であることを示せ．
(4)$\mathrm{A}$が$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$と$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ 0)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{B}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}(0,\ 0,\ 3)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{C}$が$\mathrm{R}$と$\mathrm{P}$を結ぶ線分の中点であるとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$と四面体$\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$の体積$V^\prime$を求めよ．
公立 大阪市立大学 2015年 第4問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$が与えられている．線分$\mathrm{OC}$を$1$つの対角線とし，線分$\mathrm{AB}$を一辺とする立方体を直線$\mathrm{OC}$の周りに回転して得られる回転体$K$の体積を求めたい．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4)$K$の体積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4)$K$の体積を求めよ．
公立 岐阜薬科大学 2015年 第3問\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$があり，図のように，$5$本の対角線の交点を$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$とする．$\triangle \mathrm{ABF}$，$\triangle \mathrm{BCG}$，$\triangle \mathrm{CDH}$，$\triangle \mathrm{DEI}$，$\triangle \mathrm{EAJ}$を切り取り，残った図形を使って，五角形$\mathrm{FGHIJ}$を底面とする五角錐を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)五角形$\mathrm{FGHIJ}$の面積は$\triangle \mathrm{AFJ}$の面積の何倍か．
(2)五角錐の体積を求めよ．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$があり，図のように，$5$本の対角線の交点を$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$とする．$\triangle \mathrm{ABF}$，$\triangle \mathrm{BCG}$，$\triangle \mathrm{CDH}$，$\triangle \mathrm{DEI}$，$\triangle \mathrm{EAJ}$を切り取り，残った図形を使って，五角形$\mathrm{FGHIJ}$を底面とする五角錐を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)五角形$\mathrm{FGHIJ}$の面積は$\triangle \mathrm{AFJ}$の面積の何倍か．
(2)五角錐の体積を求めよ．
\end{mawarikomi}
公立 岐阜薬科大学 2015年 第4問\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，
\[ l \overrightarrow{\mathrm{PB}}+m \overrightarrow{\mathrm{PD}}+n \overrightarrow{\mathrm{PE}}=\overrightarrow{\mathrm{GP}} \]
を満たす点$\mathrm{P}$が存在している．ただし，$l+m+n+1 \neq 0$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$\triangle \mathrm{BDE}$を含む平面上にある．$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AD}}+z \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とするとき，$x,\ y,\ z$が満たす条件を求めよ．
(4)四面体$\mathrm{ABDE}$の体積と四面体$\mathrm{PBDE}$の体積が$2:1$になるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．また，点$\mathrm{P}$がこの条件を満たし，かつ，線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$の値を求めよ．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，
\[ l \overrightarrow{\mathrm{PB}}+m \overrightarrow{\mathrm{PD}}+n \overrightarrow{\mathrm{PE}}=\overrightarrow{\mathrm{GP}} \]
を満たす点$\mathrm{P}$が存在している．ただし，$l+m+n+1 \neq 0$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$\triangle \mathrm{BDE}$を含む平面上にある．$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AD}}+z \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とするとき，$x,\ y,\ z$が満たす条件を求めよ．
(4)四面体$\mathrm{ABDE}$の体積と四面体$\mathrm{PBDE}$の体積が$2:1$になるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．また，点$\mathrm{P}$がこの条件を満たし，かつ，線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$の値を求めよ．
\end{mawarikomi}
公立 名古屋市立大学 2015年 第4問空間内の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす（ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする）．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第4問空間内の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす（ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする）．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
公立 島根県立大学 2015年 第3問$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．面$\mathrm{ABC}$と面$\mathrm{DBC}$のなす角を$\theta$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\cos \theta$を求めなさい．
(2)正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$を求めなさい．
(3)正四面体$\mathrm{ABCD}$に内接する球の半径$r$を求めなさい．
(1)$\cos \theta$を求めなさい．
(2)正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$を求めなさい．
(3)正四面体$\mathrm{ABCD}$に内接する球の半径$r$を求めなさい．
公立 北九州市立大学 2015年 第3問半径$1$の円を底面とする高さ$2$の円柱がある．下図のように，ひとつの底面を$xy$平面にとり，その中心を原点$\mathrm{O}$にとる．点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}},\ 0,\ 0 \right)$および点$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$を通り，$xy$平面と${45}^\circ$の角をなす平面で，円柱を$2$つの立体に分ける．以下の問いに答えよ．
(1)平面$x=a$（ただし，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq a \leqq 1$）で小さい方の立体を切ったときの切り口（長方形$\mathrm{PQRS}$）の面積$S(a)$を求めよ．
(2)小さい方の立体の体積$V$を求めよ．
（図は省略）
(1)平面$x=a$（ただし，$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq a \leqq 1$）で小さい方の立体を切ったときの切り口（長方形$\mathrm{PQRS}$）の面積$S(a)$を求めよ．
(2)小さい方の立体の体積$V$を求めよ．
（図は省略）