実数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たすとする．$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標空間の$3$点
\[ \mathrm{A}(\cos^2 \theta,\ \sin \theta,\ 1+\sin^2 \theta),\quad \mathrm{B}(\sin \theta,\ 0,\ -\sin \theta),\quad \mathrm{C}(1,\ \cos 2\theta-\cos^2 \theta,\ 1) \]
に対し，それぞれ$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．

(1)$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではないとする．$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一平面上にあるならば，

$\displaystyle \theta=\frac{[$27$][$28$]}{[$29$]} \pi$である．

次に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$とし，以下このときの$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．
(2)点$\mathrm{P}$は$\alpha$上の点で，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$が最小になるものとする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{b}=[$30$],\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{c}=[$31$] \]
が成り立つ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$32$][$33$]}{[$34$]} \overrightarrow{b}+\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \overrightarrow{c} \]
となる．ただし，$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す．

(3)三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{8} \sqrt{\frac{[$39$][$40$]}{[$41$]}}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\displaystyle \sqrt{\frac{[$42$]}{[$43$][$44$]}}$なので，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{[$45$]}{[$46$]}$となる．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1$を満たす点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を考え，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，$\mathrm{AB}>\mathrm{AP}$とする．

(1)$\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$のとき，$\displaystyle \mathrm{OP}=\frac{\sqrt{[サ]}}{[シ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{OBP}$が二等辺三角形であるとき，
\[ \mathrm{OP}^2=1,\quad \mathrm{AP}=\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}, \]
または
\[ \mathrm{OP}^2=[タ]+\frac{[チ]}{[ツ]} \sqrt{[テ]},\quad \mathrm{AP}=[ト]+\sqrt{[ナ]}, \]
または
\[ \mathrm{OP}^2=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad \mathrm{AP}=\frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]} \]
である．ただし，
\[ \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}<[ト]+\sqrt{[ナ]}<\frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]} \]
とする．
(3)座標空間に，$\mathrm{OC}=2$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$を満たす点$\mathrm{C}$をとる．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CQ}$を下ろす．このとき，

$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{[ヒ]}}{[フ]}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である．

正の定数$a (a \neq 1)$に対して，$2$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=ax(1-x) \]
と定める．曲線$C:y=f(x)$の点$(1,\ 0)$における接線を$\ell_1$，直線$y=-x$を$\ell_2$とする．曲線$C$の$x \leqq 1$の部分と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S$で表し，また，この部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$V$で表す．

(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定数$a$は$a>1$を満たすものとする．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$U$で表すとき，
\[ \frac{30a^3}{(a-1)^4 \pi}(V-U) \]
を$a$の$1$次式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{a \to 1+0}(a-1)^2V$の値を求めよ．

半径が$1$の球に内接する直円柱を考え，この直円柱の底面の半径を$x$とし，体積を$V$とする．

(1)$V=[ケ] \pi x^2 \sqrt{[コ]-x^2}$である．

(2)$\displaystyle \frac{dV}{dx}=\frac{[サ] \pi x(2-[シ]x^2)}{\sqrt{[ス]-x^2}}$である．

(3)$V$が最大になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$のときであり，その最大値は$\displaystyle \frac{[タ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]} \pi$である．

座標空間内の$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 5,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(-2,\ 0,\ 0)$がある．また，点$\mathrm{P}(p,\ q,\ r) (r>0)$があり，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PA}}$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標$(p,\ q,\ r)$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{PABC}$の体積を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線の足$\mathrm{H}(p,\ q,\ 0)$に対して，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CH}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$(|x-1|-1)(y-1)>0$の表す領域を図示せよ．
(2)平面上の直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1$に関して点$(2,\ 7)$と対称な点の座標を求めよ．
(3)$3$辺の長さが$x,\ 1-2x,\ 2-2x$である直方体がある．このような直方体のなかで体積が最大となるものの体積を求めよ．

空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{C}(-2,\ 4,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$について，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$から三角形$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろす．この垂線と三角形$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OC}$上にとる．四面体$\mathrm{OABQ}$の体積が$\displaystyle \frac{9}{4}$となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を求めよ．

空間内に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$が与えられている．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の値は$[ア]$である．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AX}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BX}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CX}}|=2$となる点$\mathrm{X}(a,\ b,\ c)$のうち，$a>0$となる点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{D}$の座標は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$[ウ]$である．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{DG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$の値は$[エ]$である．
(5)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[オ]$である．

四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=4$，$\mathrm{CD}=5$であるとする．$\mathrm{E}$を辺$\mathrm{AB}$の中点とし，$\angle \mathrm{CED}=\theta$とおく．

(1)$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

半径が$1$の円を底面とし，高さが$4$の直円錐に内接する直円柱を考える．この直円柱の表面積が最大となるときの底面の半径$x$の値と，その際の直円柱の体積$V$の値を求めよ．ただし円周率は$\pi$とする．
（図は省略）