「体積」について
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(8ページ目:全290問中71問~80問を表示)![慶應義塾大学](./img/univ/keio.png)
実数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たすとする.$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標空間の$3$点
\[ \mathrm{A}(\cos^2 \theta,\ \sin \theta,\ 1+\sin^2 \theta),\quad \mathrm{B}(\sin \theta,\ 0,\ -\sin \theta),\quad \mathrm{C}(1,\ \cos 2\theta-\cos^2 \theta,\ 1) \]
に対し,それぞれ$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく.
(1)$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではないとする.$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が同一平面上にあるならば,
$\displaystyle \theta=\frac{[$27$][$28$]}{[$29$]} \pi$である.
次に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$とし,以下このときの$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を考える.また,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする.
(2)点$\mathrm{P}$は$\alpha$上の点で,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$が最小になるものとする.このとき,
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{b}=[$30$],\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{c}=[$31$] \]
が成り立つ.また,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$32$][$33$]}{[$34$]} \overrightarrow{b}+\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \overrightarrow{c} \]
となる.ただし,$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す.
(3)三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{8} \sqrt{\frac{[$39$][$40$]}{[$41$]}}$であり,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\displaystyle \sqrt{\frac{[$42$]}{[$43$][$44$]}}$なので,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{[$45$]}{[$46$]}$となる.
\[ \mathrm{A}(\cos^2 \theta,\ \sin \theta,\ 1+\sin^2 \theta),\quad \mathrm{B}(\sin \theta,\ 0,\ -\sin \theta),\quad \mathrm{C}(1,\ \cos 2\theta-\cos^2 \theta,\ 1) \]
に対し,それぞれ$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく.
(1)$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではないとする.$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が同一平面上にあるならば,
$\displaystyle \theta=\frac{[$27$][$28$]}{[$29$]} \pi$である.
次に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$とし,以下このときの$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を考える.また,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする.
(2)点$\mathrm{P}$は$\alpha$上の点で,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$が最小になるものとする.このとき,
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{b}=[$30$],\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{c}=[$31$] \]
が成り立つ.また,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$32$][$33$]}{[$34$]} \overrightarrow{b}+\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \overrightarrow{c} \]
となる.ただし,$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す.
(3)三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{8} \sqrt{\frac{[$39$][$40$]}{[$41$]}}$であり,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\displaystyle \sqrt{\frac{[$42$]}{[$43$][$44$]}}$なので,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{[$45$]}{[$46$]}$となる.
![上智大学](./img/univ/jochi.png)
$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において,$\mathrm{OA}=2$,$\mathrm{OB}=1$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1$を満たす点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を考え,直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとる.ただし,$\mathrm{AB}>\mathrm{AP}$とする.
(1)$\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$のとき,$\displaystyle \mathrm{OP}=\frac{\sqrt{[サ]}}{[シ]}$である.
(2)$\triangle \mathrm{OBP}$が二等辺三角形であるとき,
\[ \mathrm{OP}^2=1,\quad \mathrm{AP}=\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}, \]
または
\[ \mathrm{OP}^2=[タ]+\frac{[チ]}{[ツ]} \sqrt{[テ]},\quad \mathrm{AP}=[ト]+\sqrt{[ナ]}, \]
または
\[ \mathrm{OP}^2=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad \mathrm{AP}=\frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]} \]
である.ただし,
\[ \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}<[ト]+\sqrt{[ナ]}<\frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]} \]
とする.
(3)座標空間に,$\mathrm{OC}=2$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$を満たす点$\mathrm{C}$をとる.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CQ}$を下ろす.このとき,
$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{[ヒ]}}{[フ]}$であり,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である.
(1)$\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$のとき,$\displaystyle \mathrm{OP}=\frac{\sqrt{[サ]}}{[シ]}$である.
(2)$\triangle \mathrm{OBP}$が二等辺三角形であるとき,
\[ \mathrm{OP}^2=1,\quad \mathrm{AP}=\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}, \]
または
\[ \mathrm{OP}^2=[タ]+\frac{[チ]}{[ツ]} \sqrt{[テ]},\quad \mathrm{AP}=[ト]+\sqrt{[ナ]}, \]
または
\[ \mathrm{OP}^2=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad \mathrm{AP}=\frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]} \]
である.ただし,
\[ \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}<[ト]+\sqrt{[ナ]}<\frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]} \]
とする.
(3)座標空間に,$\mathrm{OC}=2$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$を満たす点$\mathrm{C}$をとる.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CQ}$を下ろす.このとき,
$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{[ヒ]}}{[フ]}$であり,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である.
![東京理科大学](./img/univ/tokyoridai.png)
正の定数$a (a \neq 1)$に対して,$2$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=ax(1-x) \]
と定める.曲線$C:y=f(x)$の点$(1,\ 0)$における接線を$\ell_1$,直線$y=-x$を$\ell_2$とする.曲線$C$の$x \leqq 1$の部分と$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S$で表し,また,この部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$V$で表す.
(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ.
(2)$S$を$a$を用いて表せ.
(3)定数$a$は$a>1$を満たすものとする.$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$U$で表すとき,
\[ \frac{30a^3}{(a-1)^4 \pi}(V-U) \]
を$a$の$1$次式で表せ.
(4)$\displaystyle \lim_{a \to 1+0}(a-1)^2V$の値を求めよ.
\[ f(x)=ax(1-x) \]
と定める.曲線$C:y=f(x)$の点$(1,\ 0)$における接線を$\ell_1$,直線$y=-x$を$\ell_2$とする.曲線$C$の$x \leqq 1$の部分と$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S$で表し,また,この部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$V$で表す.
(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ.
(2)$S$を$a$を用いて表せ.
(3)定数$a$は$a>1$を満たすものとする.$2$直線$\ell_1$,$\ell_2$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$U$で表すとき,
\[ \frac{30a^3}{(a-1)^4 \pi}(V-U) \]
を$a$の$1$次式で表せ.
(4)$\displaystyle \lim_{a \to 1+0}(a-1)^2V$の値を求めよ.
![金沢工業大学](./img/univ/kanazawakougyou.png)
半径が$1$の球に内接する直円柱を考え,この直円柱の底面の半径を$x$とし,体積を$V$とする.
(1)$V=[ケ] \pi x^2 \sqrt{[コ]-x^2}$である.
(2)$\displaystyle \frac{dV}{dx}=\frac{[サ] \pi x(2-[シ]x^2)}{\sqrt{[ス]-x^2}}$である.
(3)$V$が最大になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$のときであり,その最大値は$\displaystyle \frac{[タ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]} \pi$である.
(1)$V=[ケ] \pi x^2 \sqrt{[コ]-x^2}$である.
(2)$\displaystyle \frac{dV}{dx}=\frac{[サ] \pi x(2-[シ]x^2)}{\sqrt{[ス]-x^2}}$である.
(3)$V$が最大になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$のときであり,その最大値は$\displaystyle \frac{[タ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]} \pi$である.
![同志社大学](./img/univ/doshisha.png)
座標空間内の$xy$平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 5,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ 2,\ 0)$,$\mathrm{C}(-2,\ 0,\ 0)$がある.また,点$\mathrm{P}(p,\ q,\ r) (r>0)$があり,$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PC}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{PA}}$であるとする.次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{P}$の座標$(p,\ q,\ r)$を求めよ.
(2)四面体$\mathrm{PABC}$の体積を求めよ.
(3)点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線の足$\mathrm{H}(p,\ q,\ 0)$に対して,内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CH}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ求めよ.
(1)点$\mathrm{P}$の座標$(p,\ q,\ r)$を求めよ.
(2)四面体$\mathrm{PABC}$の体積を求めよ.
(3)点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線の足$\mathrm{H}(p,\ q,\ 0)$に対して,内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CH}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ求めよ.
![津田塾大学](./img/univ/tsudajuku.png)
次の問いに答えよ.
(1)不等式$(|x-1|-1)(y-1)>0$の表す領域を図示せよ.
(2)平面上の直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1$に関して点$(2,\ 7)$と対称な点の座標を求めよ.
(3)$3$辺の長さが$x,\ 1-2x,\ 2-2x$である直方体がある.このような直方体のなかで体積が最大となるものの体積を求めよ.
(1)不等式$(|x-1|-1)(y-1)>0$の表す領域を図示せよ.
(2)平面上の直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1$に関して点$(2,\ 7)$と対称な点の座標を求めよ.
(3)$3$辺の長さが$x,\ 1-2x,\ 2-2x$である直方体がある.このような直方体のなかで体積が最大となるものの体積を求めよ.
![名城大学](./img/univ/meijou.png)
空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -1)$,$\mathrm{C}(-2,\ 4,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$について,次の各問に答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$を求めよ.
(2)点$\mathrm{C}$から三角形$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろす.この垂線と三角形$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を求めよ.
(3)点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OC}$上にとる.四面体$\mathrm{OABQ}$の体積が$\displaystyle \frac{9}{4}$となるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$を求めよ.
(2)点$\mathrm{C}$から三角形$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろす.この垂線と三角形$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を求めよ.
(3)点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OC}$上にとる.四面体$\mathrm{OABQ}$の体積が$\displaystyle \frac{9}{4}$となるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を求めよ.
![九州産業大学](./img/univ/kyushusangyou.png)
空間内に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$,$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$が与えられている.
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の値は$[ア]$である.
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AX}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BX}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CX}}|=2$となる点$\mathrm{X}(a,\ b,\ c)$のうち,$a>0$となる点を$\mathrm{D}$とする.$\mathrm{D}$の座標は$[イ]$である.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$[ウ]$である.
(4)$\overrightarrow{\mathrm{DG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$の値は$[エ]$である.
(5)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[オ]$である.
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の値は$[ア]$である.
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AX}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BX}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CX}}|=2$となる点$\mathrm{X}(a,\ b,\ c)$のうち,$a>0$となる点を$\mathrm{D}$とする.$\mathrm{D}$の座標は$[イ]$である.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$[ウ]$である.
(4)$\overrightarrow{\mathrm{DG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$の値は$[エ]$である.
(5)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[オ]$である.
![旭川大学](./img/univ/asahikawa.png)
四面体$\mathrm{ABCD}$において,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=4$,$\mathrm{CD}=5$であるとする.$\mathrm{E}$を辺$\mathrm{AB}$の中点とし,$\angle \mathrm{CED}=\theta$とおく.
(1)$\cos \theta$の値を求めよ.
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ.
(1)$\cos \theta$の値を求めよ.
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ.
![日本獣医生命科学大学](./img/univ/nihonjuui.png)
半径が$1$の円を底面とし,高さが$4$の直円錐に内接する直円柱を考える.この直円柱の表面積が最大となるときの底面の半径$x$の値と,その際の直円柱の体積$V$の値を求めよ.ただし円周率は$\pi$とする.
(図は省略)
(図は省略)