$1$辺の長さが$1$の正四面体を$\mathrm{OABC}$とし，$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を求めよ．
(5)正四面体の体積$V$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内の$2$点を$\mathrm{A}(3,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(0,\ 5,\ 8)$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たす点$\mathrm{P}$を通り，直線$\mathrm{AB}$に垂直な平面$\alpha$を考える．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)平面$\alpha$が$x$軸，$y$軸，$z$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とするとき，四面体$\mathrm{OLMN}$の体積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$つの点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 2,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ -5,\ 1)$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を求めよ．また，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$から平面$S$に下ろした垂線と平面$S$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$を満たす$s,\ t$を求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$は，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{2}{3} \pi$，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$を満たす．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}-\frac{1}{2} \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$を示せ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{2}$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とする．点$\mathrm{D}$を$\mathrm{BC}$の中点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の点とし，$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=t:(1-t)$とするとき，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の動点とする．$\mathrm{OP}$の長さが最小となるとき，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$を以下の$①$～$③$を満たすように定める．このとき$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．

\mon[$①$] 四面体$\mathrm{OABC}$の体積と四面体$\mathrm{QABC}$の体積は等しい
\mon[$②$] $\mathrm{QA}=\mathrm{QB}=\mathrm{QC}$
\mon[$③$] 線分$\mathrm{OQ}$は$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が定める平面と交点をもたない．

一辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を$a$で表せ．

空間に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ -1)$がある．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$の方程式を求めなさい．
(2)平面$\alpha$に垂直になるように原点$\mathrm{O}$から直線を引いたとき，平面$\alpha$との交点$\mathrm{T}$の座標を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めなさい．

$a,\ b$を定数とする．空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 5,\ 9)$，$\mathrm{B}(3,\ 4,\ 8)$，$\mathrm{C}(2,\ 6,\ 7)$，$\mathrm{D}(a,\ b,\ 12)$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{AG} \perp \mathrm{DG}$，$\mathrm{BG} \perp \mathrm{DG}$であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{G}$の座標と$a,\ b$の値を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(4)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を頂点とする四面体の体積を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CD}=5$，$\mathrm{DA}=6$をみたす四角形$\mathrm{ABCD}$を考える．この四角形の面積を$F$とすると
\[ F=[$1$][$2$] \sin B+[$3$][$4$] \sin D \]
が成り立つ．余弦定理を用いれば
\[ F^2=[$5$][$6$][$7$]-[$8$][$9$][$10$] \cos (B+D) \]
を得る．$B+D=\pi$のとき，$F$は最大値
\[ 6 \sqrt{[$11$][$12$]} \]
をとる．
(2)辺の長さが$2 \sqrt{3}$の正四面体$F$がある．$F$の内部に中心をもち，$F$のどの辺とも高々$1$点を共有する球を考える．これらの球の中で最大のものを$B$とすれば，$B$の体積は$[$13$] \sqrt{[$14$]}\pi$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$がある．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$1$][$2$]}}{[$3$]}$である．
(2)点$\mathrm{C}$の位置を，位置ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
によって定める．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の比は
\[ \frac{\triangle \mathrm{ABC}}{\triangle \mathrm{OAB}}=\frac{[$4$]}{[$5$]} \]
である．
(3)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直な単位ベクトルのうちの$1$つは，
\[ \frac{\sqrt{[$6$][$7$]}}{21} \left( [$8$],\ -[$9$],\ 1 \right) \]
である．
(4)$t$を実数として，点$\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{t^2}{4},\ 4t,\ 19 \right)$を定める．このとき，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V(t)$は
\[ V(t)=\frac{[$10$]}{[$11$][$12$]} \left( t^2-[$13$]t+[$14$][$15$] \right) \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\frac{n+1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$V(a_n)$は，$n=[$16$]$で最小となる．