「体積」について
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国立 東京工業大学 2015年 第3問$a>0$とする．曲線$y=e^{-x^2}$と$x$軸，$y$軸，および直線$x=a$で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体を$A$とする．
(1)$A$の体積$V$を求めよ．
(2)点$(t,\ 0) (-a \leqq t \leqq a)$を通り$x$軸と垂直な平面による$A$の切り口の面積を$S(t)$とするとき，不等式
\[ S(t) \leqq \int_{-a}^a e^{-(s^2+t^2)} \, ds \]
を示せ．
(3)不等式
\[ \sqrt{\pi (1-e^{-a^2})} \leqq \int_{-a}^a e^{-x^2} \, dx \]
を示せ．
(1)$A$の体積$V$を求めよ．
(2)点$(t,\ 0) (-a \leqq t \leqq a)$を通り$x$軸と垂直な平面による$A$の切り口の面積を$S(t)$とするとき，不等式
\[ S(t) \leqq \int_{-a}^a e^{-(s^2+t^2)} \, ds \]
を示せ．
(3)不等式
\[ \sqrt{\pi (1-e^{-a^2})} \leqq \int_{-a}^a e^{-x^2} \, dx \]
を示せ．
国立 九州大学 2015年 第3問座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球がある．下の概略図のように，$y$軸の負の方向から仰角$\displaystyle \frac{\pi}{6}$で太陽光線が当たっている．この太陽光線はベクトル$(0,\ \sqrt{3},\ -1)$に平行である．球は光を通さないものとするとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)球の$z \geqq 0$の部分が$xy$平面上につくる影を考える．$k$を$-1<k<1$を満たす実数とするとき，$xy$平面上の直線$x=k$において，球の外で光が当たらない部分の$y$座標の範囲を$k$を用いて表せ．
(2)$xy$平面上において，球の外で光が当たらない部分の面積を求めよ．
(3)$z \geqq 0$において，球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)球の$z \geqq 0$の部分が$xy$平面上につくる影を考える．$k$を$-1<k<1$を満たす実数とするとき，$xy$平面上の直線$x=k$において，球の外で光が当たらない部分の$y$座標の範囲を$k$を用いて表せ．
(2)$xy$平面上において，球の外で光が当たらない部分の面積を求めよ．
(3)$z \geqq 0$において，球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ．
国立 東京工業大学 2015年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=x$とする．頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}^\prime$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}+r \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OH}^\prime}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$と表す．このとき，$p,\ q,\ r$および$s,\ t$を$x$の式で表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ．また，$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}+r \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OH}^\prime}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$と表す．このとき，$p,\ q,\ r$および$s,\ t$を$x$の式で表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ．また，$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ．
国立 徳島大学 2015年 第3問座標空間において$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ -3,\ 6)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 2)$とし，線分$\mathrm{AB}$を$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\mathrm{OD}=3 \sqrt{3}$を満たす点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABD}$の体積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABD}$の体積を求めよ．
国立 徳島大学 2015年 第2問座標空間において$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ -3,\ 6)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 2)$とし，線分$\mathrm{AB}$を$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\mathrm{OD}=3 \sqrt{3}$を満たす点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABD}$の体積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABD}$の体積を求めよ．
国立 徳島大学 2015年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\displaystyle \mathrm{BC}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 九州工業大学 2015年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において，三角形$\mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$1$の正三角形であり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=2$とする．また，点$\mathrm{C}$を通り平面$\mathrm{OAB}$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり，線分$\mathrm{CD}$の中点$\mathrm{H}$は平面$\mathrm{OAB}$に含まれるとする．すなわち，点$\mathrm{D}$は平面$\mathrm{OAB}$に関して，点$\mathrm{C}$と対称な点である．
（図は省略）
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3)直線$\mathrm{BH}$と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．さらに，$\mathrm{OP}$および$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(4)$(3)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，四角形$\mathrm{BCPD}$の面積$S$を求めよ．また，四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{BCPD}$の体積$V$を求めよ．
（図は省略）
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3)直線$\mathrm{BH}$と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．さらに，$\mathrm{OP}$および$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(4)$(3)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，四角形$\mathrm{BCPD}$の面積$S$を求めよ．また，四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{BCPD}$の体積$V$を求めよ．
国立 弘前大学 2015年 第3問側面の展開図が，半径$10$，中心角$x$の扇形である円錐を作る．この円錐の体積の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．ただし，$0^\circ<x<{360}^\circ$とする．
国立 佐賀大学 2015年 第2問$a,\ b,\ c$を正の定数とし，$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$の定める平面を$\alpha$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，平面$\alpha$に垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{n}=(n_1,\ n_2,\ n_3)$とする．ただし，$n_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{n}$を求めよ．
(2)平面$\alpha$上に点$\mathrm{H}$があり，直線$\mathrm{OH}$は$\alpha$に垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$および$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を$S_1$とする．四面体$\mathrm{OABC}$の体積を考えることにより，$S_1=n_1S$であることを示せ．
(1)$\overrightarrow{n}$を求めよ．
(2)平面$\alpha$上に点$\mathrm{H}$があり，直線$\mathrm{OH}$は$\alpha$に垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$および$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を$S_1$とする．四面体$\mathrm{OABC}$の体積を考えることにより，$S_1=n_1S$であることを示せ．
国立 東京農工大学 2015年 第1問点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間上に$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 4)$，$\mathrm{C}(4,\ 3,\ 5)$をとる．次の問いに答えよ．
(1)平面$\mathrm{OAB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を適当な実数$s,\ t,\ u$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表したとき，$s,\ t,\ u$の値を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離を求めよ．
(1)平面$\mathrm{OAB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を適当な実数$s,\ t,\ u$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表したとき，$s,\ t,\ u$の値を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離を求めよ．