「体積」について
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(5ページ目:全290問中41問~50問を表示)![名古屋市立大学](./img/univ/nagoyashiritsu.png)
座標空間内の原点を中心とする半径$2$の球$\mathrm{A}$と,点$(t,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球$\mathrm{B}$がある.ただし,$0 \leqq t \leqq 3$とする.次の問いに答えよ.
(1)球$\mathrm{A}$と球$\mathrm{B}$のいずれにも含まれる領域の体積$V(t)$を求めよ.
(2)$V(t)$を$t$の関数としてグラフにかけ.
(3)定積分$\displaystyle \int_0^3 V(t) \, dt$を求めよ.
(1)球$\mathrm{A}$と球$\mathrm{B}$のいずれにも含まれる領域の体積$V(t)$を求めよ.
(2)$V(t)$を$t$の関数としてグラフにかけ.
(3)定積分$\displaystyle \int_0^3 V(t) \, dt$を求めよ.
![北九州市立大学](./img/univ/kitakyushushiritsu.png)
四面体$\mathrm{OABC}$と点$\mathrm{P}$について,$14 \overrightarrow{\mathrm{OP}}+5 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+9 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+7 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立つとする.四面体$\mathrm{OABC}$,$\mathrm{PABC}$の体積をそれぞれ$V_1$,$V_2$とするとき,$V_1:V_2$を以下の手順で求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{BC}$を$7:9$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$はどのような位置にあるか説明せよ.
(4)$V_1:V_2$を求めよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{BC}$を$7:9$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$はどのような位置にあるか説明せよ.
(4)$V_1:V_2$を求めよ.
![名古屋市立大学](./img/univ/nagoyashiritsu.png)
原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ b_1,\ b_2)$,$\mathrm{C}(c_1,\ 0,\ c_2)$をとる.ただし,$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ c_1,\ c_2$は全て正とする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき,次の問いに答えよ.
(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ.
(2)空間内の点$\mathrm{P}$を考える.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$の成分で表せ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$の成分で表せ.
(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ.
(2)空間内の点$\mathrm{P}$を考える.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$の成分で表せ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$の成分で表せ.
![名古屋市立大学](./img/univ/nagoyashiritsu.png)
原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ b_1,\ b_2)$,$\mathrm{C}(c_1,\ 0,\ c_2)$をとる.ただし,$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ c_1,\ c_2$は全て正とする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき,次の問いに答えよ.
(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ.
(2)空間内の点$\mathrm{P}$を考える.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$の成分で表せ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$の成分で表せ.
(1)三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ.
(2)空間内の点$\mathrm{P}$を考える.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$の成分で表せ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$の成分で表せ.
![県立広島大学](./img/univ/kenritsuhiroshima.png)
四面体$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{OA}=2$,$\mathrm{OB}=2$,$\mathrm{OC}=4$,
\[ \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2},\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3},\quad \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする.また,線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{P}$,線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする.線分$\mathrm{CQ}$,線分$\mathrm{CP}$の中点をそれぞれ$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とし,直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{QS}$の交点を$\mathrm{T}$とする.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{T}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{TH}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{HT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)四面体$\mathrm{OABT}$の体積を求めよ.
\[ \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2},\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3},\quad \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする.また,線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{P}$,線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする.線分$\mathrm{CQ}$,線分$\mathrm{CP}$の中点をそれぞれ$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とし,直線$\mathrm{PR}$と直線$\mathrm{QS}$の交点を$\mathrm{T}$とする.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.次の問いに答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{T}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{TH}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{HT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3)四面体$\mathrm{OABT}$の体積を求めよ.
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
座標空間の$x$軸上に動点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$がある.$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は時刻$0$において,原点を出発する.$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に,$\mathrm{Q}$は$x$軸の負の方向に,ともに速さ$1$で動く.その後,ともに時刻$1$で停止する.点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を中心とする半径$1$の球をそれぞれ$A,\ B$とし,空間で$x \geqq -1$の部分を$C$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)時刻$t (0 \leqq t \leqq 1)$における立体$(A \cup B) \cap C$の体積$V(t)$を求めよ.
(2)$V(t)$の最大値を求めよ.
(1)時刻$t (0 \leqq t \leqq 1)$における立体$(A \cup B) \cap C$の体積$V(t)$を求めよ.
(2)$V(t)$の最大値を求めよ.
![旭川医科大学](./img/univ/asahikawaika.png)
四面体$\mathrm{OAPQ}$において,$\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{POQ}={60}^\circ$,$\mathrm{OA}=1$,$\mathrm{OP}=p$,$\mathrm{OQ}=q$とし,頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OPQ}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする.ただし,$p \leqq q$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{AH}$の長さを求めよ.
(3)$p+q=3$,および$\triangle \mathrm{APQ}$の面積が$1$のとき,以下の値を求めよ.
\[ (1) \ pq \qquad (2) \ p \qquad (3) \ \text{四面体} \mathrm{OAPQ} \text{の体積} \]
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$p,\ q$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{AH}$の長さを求めよ.
(3)$p+q=3$,および$\triangle \mathrm{APQ}$の面積が$1$のとき,以下の値を求めよ.
\[ (1) \ pq \qquad (2) \ p \qquad (3) \ \text{四面体} \mathrm{OAPQ} \text{の体積} \]
![名古屋工業大学](./img/univ/nagoyakougyou.png)
四面体$\mathrm{ABCD}$は
$(ⅰ)$ $\mathrm{BA}=\sqrt{66}$,$\mathrm{BC}=7$,$\mathrm{BD}=\sqrt{65}$
$(ⅱ)$ $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=28$,$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=35$,$\overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=40$
を満たす.頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする.
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を用いて表せ.
(3)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ.
(4)面$\mathrm{ABC}$を直線$\mathrm{AH}$の周りに$1$回転させるとき,面$\mathrm{ABC}$が通過する部分の体積$V$を求めよ.
$(ⅰ)$ $\mathrm{BA}=\sqrt{66}$,$\mathrm{BC}=7$,$\mathrm{BD}=\sqrt{65}$
$(ⅱ)$ $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=28$,$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=35$,$\overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=40$
を満たす.頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする.
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を用いて表せ.
(3)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ.
(4)面$\mathrm{ABC}$を直線$\mathrm{AH}$の周りに$1$回転させるとき,面$\mathrm{ABC}$が通過する部分の体積$V$を求めよ.
![東北大学](./img/univ/tohoku.png)
$t>0$を実数とする.座標平面において,$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ 0)$,$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える.
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ.
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ.
(3)辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とおく.$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき,三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$,$\mathrm{QR}$,$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と,そのときの$t$の値を求めよ.
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ.
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ.
(3)辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とおく.$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき,三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$,$\mathrm{QR}$,$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と,そのときの$t$の値を求めよ.
![東北大学](./img/univ/tohoku.png)
$t>0$を実数とする.座標平面において,$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ 0)$,$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える.
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ.
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ.
(3)辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とおく.$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき,三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$,$\mathrm{QR}$,$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と,そのときの$t$の値を求めよ.
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ.
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ.
(3)辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とおく.$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき,三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$,$\mathrm{QR}$,$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と,そのときの$t$の値を求めよ.