「体積」について
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(4ページ目:全290問中31問~40問を表示)![明治大学](./img/univ/meiji.png)
次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい.
半径$3$の球に内接する円柱の体積の最大値は$[ ] \pi$である.ただし,$\pi$は円周率である.
半径$3$の球に内接する円柱の体積の最大値は$[ ] \pi$である.ただし,$\pi$は円周率である.
![東京都市大学](./img/univ/tokyotoshi.png)
次の問に答えよ.
(1)$i$を虚数単位とする.複素数$\alpha=2 \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}+i \sin \displaystyle\frac{\pi}{12} \right)$と$0$でない複素数$\beta$に対し,複素数平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{P}(\alpha\beta)$,$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \right)$と定める.三角形$\mathrm{OPQ}$の面積が$3$であるとき,$|\beta|$を求めよ.
(2)等式$\displaystyle \sum_{k=1}^4 \log_2 \frac{x}{k}=-\log_2 864$を満たす実数$x$を求めよ.
(3)点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(x,\ 0,\ 2)$,$\mathrm{C}(1,\ y,\ z)$について,$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$,$\mathrm{OB} \perp \mathrm{OC}$,$\mathrm{OC} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき,実数$x,\ y,\ z$の値を求めよ.さらに四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
(1)$i$を虚数単位とする.複素数$\alpha=2 \left( \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}+i \sin \displaystyle\frac{\pi}{12} \right)$と$0$でない複素数$\beta$に対し,複素数平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{P}(\alpha\beta)$,$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \displaystyle\frac{\beta}{\alpha} \right)$と定める.三角形$\mathrm{OPQ}$の面積が$3$であるとき,$|\beta|$を求めよ.
(2)等式$\displaystyle \sum_{k=1}^4 \log_2 \frac{x}{k}=-\log_2 864$を満たす実数$x$を求めよ.
(3)点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(x,\ 0,\ 2)$,$\mathrm{C}(1,\ y,\ z)$について,$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB}$,$\mathrm{OB} \perp \mathrm{OC}$,$\mathrm{OC} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき,実数$x,\ y,\ z$の値を求めよ.さらに四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
次の空欄$[ア]$~$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき,$\sin \theta \cos \theta=[ア]$,$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である.
(2)高さが$1$の円錐を,頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する.体積が$2$等分されるのは,$a=[ウ]$のときである.
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である.
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$,$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$,$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると,$A+B+C=[オ]$である.
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である.
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが,円形のテーブルの周りに座る.子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある.ただし,回転して一致するものは同じ座り方とみなす.
(7)半透明のガラス板がある.光がガラス板$1$枚を通ると,その強さが$8$割に減る.光の強さが当初の$1$割未満となるのは,ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである.ただし,必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ.
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを,$\mathrm{A}$は徒歩で,$\mathrm{B}$は自転車で,同じ地点から同時にスタートし,同じ方向に回る.自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき,$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと,$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は,スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である.
(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき,$\sin \theta \cos \theta=[ア]$,$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である.
(2)高さが$1$の円錐を,頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する.体積が$2$等分されるのは,$a=[ウ]$のときである.
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である.
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$,$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$,$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると,$A+B+C=[オ]$である.
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である.
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが,円形のテーブルの周りに座る.子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある.ただし,回転して一致するものは同じ座り方とみなす.
(7)半透明のガラス板がある.光がガラス板$1$枚を通ると,その強さが$8$割に減る.光の強さが当初の$1$割未満となるのは,ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである.ただし,必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ.
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを,$\mathrm{A}$は徒歩で,$\mathrm{B}$は自転車で,同じ地点から同時にスタートし,同じ方向に回る.自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき,$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと,$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は,スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である.
![明治大学](./img/univ/meiji.png)
次の各問の$[ ]$に当てはまる数を入れよ.
(1)$100$以下の自然数で,$2$と$5$を共に素因数にもち,それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は,$[ ]$個である.
同様に$100$以下の自然数で,$2$と$3$を共に素因数にもち,それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は,$[ ]$である.
(2)曲線$C:y=x^3-3x+16$を第$1$象限で考える.曲線$C$の接線で,点$(0,\ 0)$を通るものを$\ell$とするとき,$\ell$の傾きは,$[ ]$であり,$C$,$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は,$[ ]$である.
(3)$1$辺の長さが$y$の正方形を$\mathrm{ABCD}$とし,$2$つの対角線の交点を$\mathrm{O}$とする.$\mathrm{O}$から垂直に高さが$x$の点$\mathrm{E}$をとり,四角錐$\mathrm{E}$-$\mathrm{ABCD}$を考える.$\mathrm{AE}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき,体積が最大となるのは,
\[ x=[ ],\quad y=[ ] \]
のときである.
(1)$100$以下の自然数で,$2$と$5$を共に素因数にもち,それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は,$[ ]$個である.
同様に$100$以下の自然数で,$2$と$3$を共に素因数にもち,それ以外の素数を素因数にもたない数の個数は,$[ ]$である.
(2)曲線$C:y=x^3-3x+16$を第$1$象限で考える.曲線$C$の接線で,点$(0,\ 0)$を通るものを$\ell$とするとき,$\ell$の傾きは,$[ ]$であり,$C$,$\ell$と$y$軸で囲まれた領域の面積は,$[ ]$である.
(3)$1$辺の長さが$y$の正方形を$\mathrm{ABCD}$とし,$2$つの対角線の交点を$\mathrm{O}$とする.$\mathrm{O}$から垂直に高さが$x$の点$\mathrm{E}$をとり,四角錐$\mathrm{E}$-$\mathrm{ABCD}$を考える.$\mathrm{AE}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき,体積が最大となるのは,
\[ x=[ ],\quad y=[ ] \]
のときである.
![愛知学院大学](./img/univ/aichigakuin.png)
縦$12 \, \mathrm{cm}$,横$18 \, \mathrm{cm}$の長方形の厚紙の四隅から一辺の長さが$a \, \mathrm{cm}$の正方形を切り取り,ふたのない直方体の箱を作ります.この直方体の体積を$V \, \mathrm{cm}^3$としたとき,次の問に答えなさい.
(1)体積$V$を$a$の式で表しなさい.
(2)体積$V$が最大となる$a$を求めなさい.
(3)$V$の最大値を求めなさい.
(1)体積$V$を$a$の式で表しなさい.
(2)体積$V$が最大となる$a$を求めなさい.
(3)$V$の最大値を求めなさい.
![大阪市立大学](./img/univ/osakashiritsu.png)
次の問いに答えよ.
(1)$0$以上の整数$n$に対し,$\displaystyle C_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$とおくとき,$\displaystyle C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}C_n$を示せ.ただし,$\cos^0 x=1$と定める.
(2)座標空間内で,連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad z+2x^2-x^4 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad z \geqq 0 \]
の表す領域の体積を求めよ.
(1)$0$以上の整数$n$に対し,$\displaystyle C_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$とおくとき,$\displaystyle C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}C_n$を示せ.ただし,$\cos^0 x=1$と定める.
(2)座標空間内で,連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad z+2x^2-x^4 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad z \geqq 0 \]
の表す領域の体積を求めよ.
![名古屋市立大学](./img/univ/nagoyashiritsu.png)
座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に,中心角$\theta$の弧$\mathrm{AB}$をとる.ただし,点$\mathrm{A}$の座標を$(1,\ 0)$,$\displaystyle 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)扇形$\mathrm{OAB}$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_1(\theta)$を求めよ.
(2)扇形$\mathrm{OAB}$を$y$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_2(\theta)$を求めよ.
(3)体積の差$V(\theta)=V_2(\theta)-V_1(\theta)$を$\theta$の関数として,そのグラフをかけ.
(1)扇形$\mathrm{OAB}$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_1(\theta)$を求めよ.
(2)扇形$\mathrm{OAB}$を$y$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_2(\theta)$を求めよ.
(3)体積の差$V(\theta)=V_2(\theta)-V_1(\theta)$を$\theta$の関数として,そのグラフをかけ.
![名古屋市立大学](./img/univ/nagoyashiritsu.png)
座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に,中心角$\theta$の弧$\mathrm{AB}$をとる.ただし,点$\mathrm{A}$の座標を$(1,\ 0)$,$\displaystyle 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)扇形$\mathrm{OAB}$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_1(\theta)$を求めよ.
(2)扇形$\mathrm{OAB}$を$y$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_2(\theta)$を求めよ.
(3)体積の差$V(\theta)=V_2(\theta)-V_1(\theta)$を$\theta$の関数として,そのグラフをかけ.
(1)扇形$\mathrm{OAB}$を$x$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_1(\theta)$を求めよ.
(2)扇形$\mathrm{OAB}$を$y$軸の周りに$1$回転させた回転体の体積$V_2(\theta)$を求めよ.
(3)体積の差$V(\theta)=V_2(\theta)-V_1(\theta)$を$\theta$の関数として,そのグラフをかけ.
![大阪府立大学](./img/univ/osakahuritsu.png)
\begin{mawarikomi}{50mm}{(図は省略)}
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して,辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし,平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると,四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である.平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$,四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
\end{mawarikomi}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$を$t$を用いて表せ.
(2)$S$を$t$を用いて表せ.
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ.
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ.
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して,辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし,平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると,四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である.平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$,四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
\end{mawarikomi}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$を$t$を用いて表せ.
(2)$S$を$t$を用いて表せ.
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ.
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ.
![大阪府立大学](./img/univ/osakahuritsu.png)
\begin{mawarikomi}{50mm}{(図は省略)}
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して,辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし,平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると,四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である.平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$,四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
\end{mawarikomi}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$を$t$を用いて表せ.
(2)$S$を$t$を用いて表せ.
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ.
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ.
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して,辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし,平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると,四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である.平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$,四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
\end{mawarikomi}
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$を$t$を用いて表せ.
(2)$S$を$t$を用いて表せ.
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ.
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ.