「体積」について
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国立 山形大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，方程式$6 \sin^2 x+5 \cos x-2=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)座標空間に4点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$，C$(-1,\ 1,\ 0)$，D$(1,\ 1,\ -9)$がある．四面体ABCDの体積を求めよ．
(3)7で割ると2余り，11で割ると3余るような300以下の自然数をすべて求めよ．
(1)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，方程式$6 \sin^2 x+5 \cos x-2=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)座標空間に4点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$，C$(-1,\ 1,\ 0)$，D$(1,\ 1,\ -9)$がある．四面体ABCDの体積を求めよ．
(3)7で割ると2余り，11で割ると3余るような300以下の自然数をすべて求めよ．
国立 奈良教育大学 2011年 第4問$e$を自然対数の底とする．関数$f(x)$を$f(x)=\log (e-x) \ (x<e)$とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$y$軸との交点をPとする．点Pにおける曲線$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$のグラフを描け．
(4)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$y$軸との交点をPとする．点Pにおける曲線$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$のグラフを描け．
(4)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \log x \, dx$および$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} (\log x)^2 \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}(a+\log x) \ (1 \leqq x \leqq e)$と$x$軸および2直線$x=1,\ x=e$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$を$a$を用いて表せ．また，$a$が実数全体を動くとき，$V$を最小とする$a$の値を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} \log x \, dx$および$\displaystyle \int \frac{1}{x^2} (\log x)^2 \, dx$を求めよ．
(2)実数$a$に対して，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}(a+\log x) \ (1 \leqq x \leqq e)$と$x$軸および2直線$x=1,\ x=e$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V$とする．$V$を$a$を用いて表せ．また，$a$が実数全体を動くとき，$V$を最小とする$a$の値を求めよ．
国立 長岡技術科学大学 2011年 第2問半径$1$の球を含む円すいの体積の最小値，およびそのときの円すいの高さと底面の半径を求めなさい．
国立 熊本大学 2011年 第4問$xyz$空間内の3点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ -1)$，$\mathrm{R}(t,\ t^2-t+1,\ 0)$を考える．$t$が$0 \leqq t \leqq 2$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体を$K$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$K$を$xy$平面で切ったときの断面積を求めよ．
(2)$K$の体積を求めよ．
(1)$K$を$xy$平面で切ったときの断面積を求めよ．
(2)$K$の体積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2011年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$と点$\mathrm{P}$について，
\[ 6 \overrightarrow{\mathrm{OP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立っている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AQ}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$に対する四面体$\mathrm{PABR}$の体積$W$の比$\displaystyle \frac{W}{V}$を求めよ．
\[ 6 \overrightarrow{\mathrm{OP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成り立っている．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)3点$\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AQ}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$に対する四面体$\mathrm{PABR}$の体積$W$の比$\displaystyle \frac{W}{V}$を求めよ．
国立 九州工業大学 2011年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=1$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}=60^\circ$をみたしている．線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{OM}$を$s:1-s \ (0<s<1)$に内分する点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta \ (0^\circ<\theta<180^\circ)$として，次に答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}$のとき，$s$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき，$\cos \theta$と$s$の値を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}$のとき，$s$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき，$\cos \theta$と$s$の値を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第2問座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．
(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[コ]$である．
(2)辺$\mathrm{OC}$上に動点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最小になるとき，$\mathrm{P}$ $([サ],\ [シ],\ [ス])$であり，その最小値は$[セ]$である．
(3)(2)で選んだ点Pを$\text{P}_0$とし，$\text{P}_0$から辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点を$\text{Q}_0$とする．$\text{Q}_0([ソ],\ [タ],\ 0)$であり，三角形O$\text{Q}_0$Cの面積は[チ]である．また，四面体OA$\text{Q}_0\text{P}_0$の体積は[ツ]となる．
(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[コ]$である．
(2)辺$\mathrm{OC}$上に動点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最小になるとき，$\mathrm{P}$ $([サ],\ [シ],\ [ス])$であり，その最小値は$[セ]$である．
(3)(2)で選んだ点Pを$\text{P}_0$とし，$\text{P}_0$から辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点を$\text{Q}_0$とする．$\text{Q}_0([ソ],\ [タ],\ 0)$であり，三角形O$\text{Q}_0$Cの面積は[チ]である．また，四面体OA$\text{Q}_0\text{P}_0$の体積は[ツ]となる．
私立 明治大学 2011年 第1問次の空欄$[ア]$から$[カ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただし$\log$は自然対数，また$e$はその底である．
(1)円柱$C$の底面の半径を$r$，高さを$h$とする．$C$の体積が$V$であるとき$C$の表面積$S$を$r$と$V$で表せば
\[ S=2 \pi r^{[ア]}+2Vr^{[イ]} \]
となる．したがって体積$V$を一定にしたまま$S$を最小にするためには
\[ r=\left( \frac{V}{[ウ]} \right)^{\frac{1}{3}} \]
とすればよい．このとき$r$と$h$の間には$r=[エ]h$の関係がある．
(2)次の問いに答えよ．
(i) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log (n+5)}{\log (n+2)}=[オ]$
(ii) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ
\[ a_n=(n+5)^{-2n+1},\quad b_n=\frac{1}{n \log (n+2)} \]
で定める．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n}=[カ] \]
となる．
(1)円柱$C$の底面の半径を$r$，高さを$h$とする．$C$の体積が$V$であるとき$C$の表面積$S$を$r$と$V$で表せば
\[ S=2 \pi r^{[ア]}+2Vr^{[イ]} \]
となる．したがって体積$V$を一定にしたまま$S$を最小にするためには
\[ r=\left( \frac{V}{[ウ]} \right)^{\frac{1}{3}} \]
とすればよい．このとき$r$と$h$の間には$r=[エ]h$の関係がある．
(2)次の問いに答えよ．
(i) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log (n+5)}{\log (n+2)}=[オ]$
(ii) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ
\[ a_n=(n+5)^{-2n+1},\quad b_n=\frac{1}{n \log (n+2)} \]
で定める．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n}=[カ] \]
となる．
私立 上智大学 2011年 第3問$xyz$空間内の正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$はすべて原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$上にある．$\mathrm{A}$の座標は$(0,\ 0,\ 1)$であり，$\mathrm{B}$の$x$座標は正，$y$座標は$0$である．また，$\mathrm{C}$の$y$座標は$\mathrm{D}$の$y$座標より大きい．
(1)$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である．
(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である．
以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．
(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$[ム]$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．
(1)$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．
(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である．
(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である．
以後，四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す．
(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に，$\triangle \mathrm{ACD}$，$\triangle \mathrm{ABD}$，$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$を定める．四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$，$V_\mathrm{Q}$，$V_\mathrm{R}$，$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると，$V$の表面積は$[ム]$であり，$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．