$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$がある．次の各問に答えよ．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とおく．原点$\mathrm{O}$を中心とする球面と平面$\alpha$との共有点が$1$点だけのとき，その球面の方程式を求めよ．

一辺の長さが$a$の正八面体の体積と，この正八面体に内接する球，外接する球の半径を求めよ．

$3$辺の長さが$10,\ 15,\ 15$の二等辺三角形$6$個を側面とし，$1$辺の長さが$10$の正六角形を底面とする正六角錐について，次の問いに答えよ．

(1)表面積と体積を求めよ．
(2)底面と全ての側面に接する球$\mathrm{P}$の半径を求めよ．
(3)球$\mathrm{P}$と全ての側面に接する球$\mathrm{Q}$の半径を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)$e$は自然対数の底とし，$a$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(i) $x>0$で定義された関数$f(x)=a \log x-x$の増減を調べ，極値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^a e^{-2x}=0$を示せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \int_0^x t^2e^{-2t} \, dt$を求めよ．

(2)$0<t<\pi$とする．曲線$\displaystyle C:y=\sin \frac{x}{2} (0 \leqq x \leqq \pi)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \sin \frac{t}{2} \right)$における$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えよ．

(i) 接線$\ell_1$と$x$軸との交点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(ii) $j=1,\ 2$について，直線$\ell_j$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた三角形を$x$軸のまわりに回転させてできた円錐の体積を$V_j$とする．また，曲線$C$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させてできた回転体の体積を$V$とする．$V_1$，$V_2$および$V$を$t$を用いて表せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta-\sin \theta}{\theta^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1$は利用してよい．

空間内の$4$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(0,\ 2,\ 3),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{C}(1,\ 2,\ 0) \]
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に点$\mathrm{D}$から垂線を引き，交点を$\mathrm{F}$とする．線分$\mathrm{DF}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

実数$\theta$が動くとき，$xy$平面上の動点P$(0,\ \sin \theta)$およびQ$(8 \cos \theta,\ 0)$を考える．$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，平面内で線分PQが通過する部分を$D$とする．$D$を $x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$xy$平面上の2曲線$\displaystyle C_1 : y = \frac{\log x}{x}$と$C_2 : y = ax^2$は点Pを共有し，Pにおいて共通の接線をもっている．ただし，$a$は定数とする．次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x,\ y$を実数とし，$x>0$とする．$t$を変数とする2次関数$f(t)=xt^2+yt$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値と最小値の差を求めよ．
(2)次の条件を満たす点$(x,\ y)$の全体からなる座標平面内の領域を$S$とする．\\
$x>0$かつ，実数$z$で$0 \leqq t \leqq 1$の範囲の全ての実数$t$に対して
\[ 0 \leqq xt^2+yt +z \leqq 1 \]
を満たすようなものが存在する．\\
$S$の概形を図示せよ．
(3)次の条件を満たす点$(x,\ y,\ z)$全体からなる座標空間内の領域を$V$とする．\\
$0 \leqq x \leqq 1$かつ，$0 \leqq t \leqq 1$の範囲の全ての実数$t$に対して，
\[ 0 \leqq xt^2+yt + z \leqq 1 \]
が成り立つ．\\
$V$の体積を求めよ．

四角錐$\mathrm{OABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$は$1$辺の長さ$2$の正方形で，
\[ \mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = \mathrm{OD} = \sqrt{5} \]
である．

(1)四角錐$\mathrm{OABCD}$の高さを求めよ．
(2)四角錐$\mathrm{OABCD}$に内接する球$S$の半径を求めよ．
(3)内接する球$S$の表面積と体積を求めよ．

$a$を$\displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．円$C : x^2 + (y+ \sin \alpha)^2 = 1$および，その中心を通る直線$\ell :y= (\tan \alpha) x - \sin \alpha$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2)等式
\[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\
x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1
\end{array}
\right. \]
の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．