「体積」について
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私立 同志社大学 2014年 第2問座標空間内の球面$x^2+y^2+z^2=9$上に$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -2,\ 2)$をとる．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に，原点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)球面上を動く点$\mathrm{P}$を頂点とする四面体$\mathrm{PABC}$を考え，その体積を$V$とする．$V$の最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に，原点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)球面上を動く点$\mathrm{P}$を頂点とする四面体$\mathrm{PABC}$を考え，その体積を$V$とする．$V$の最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
私立 九州産業大学 2014年 第4問$4$点$\mathrm{A}(-\sqrt{3},\ \sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ -\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{C}(-3,\ -3,\ 1)$，$\mathrm{D}$を頂点とする四面体$\mathrm{ABCD}$について考える．ただし，点$\mathrm{D}$の$z$座標は負の数であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{17}$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とする．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[ア]$である．
(2)点$\mathrm{D}$の座標は$[イ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通り，$z$軸に垂直な平面の方程式は$[ウ]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面上にあり，点$\mathrm{D}$との距離が最小となる点の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと$[エ]$である．
(5)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[オ]$である．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[ア]$である．
(2)点$\mathrm{D}$の座標は$[イ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通り，$z$軸に垂直な平面の方程式は$[ウ]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面上にあり，点$\mathrm{D}$との距離が最小となる点の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと$[エ]$である．
(5)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[オ]$である．
私立 獨協医科大学 2014年 第3問空間に，同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，条件
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1\,\quad \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \]
を満たしている．$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とし，$\alpha$上にない点$\mathrm{P}$を次の条件を満たすようにとる．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \]
点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=p$とおくと，$\triangle \mathrm{OPH}$の面積は
\[ \frac{[オ]}{[カ]} \sqrt{[キ]p^2-[ク]} \]
と表される．
$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\triangle \mathrm{OPH}$の面積の$2$倍に等しいとき
\[ p^2=\frac{[ケコ]}{[サシ]} \]
である．またこのとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{5}{3} \overrightarrow{\mathrm{PO}}$を満たす点$\mathrm{Q}$をとると，四面体$\mathrm{QOAH}$の体積は
\[ \frac{\sqrt{[ス]}}{[セソ]} \]
である．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1\,\quad \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \]
を満たしている．$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とし，$\alpha$上にない点$\mathrm{P}$を次の条件を満たすようにとる．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \]
点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=p$とおくと，$\triangle \mathrm{OPH}$の面積は
\[ \frac{[オ]}{[カ]} \sqrt{[キ]p^2-[ク]} \]
と表される．
$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\triangle \mathrm{OPH}$の面積の$2$倍に等しいとき
\[ p^2=\frac{[ケコ]}{[サシ]} \]
である．またこのとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{5}{3} \overrightarrow{\mathrm{PO}}$を満たす点$\mathrm{Q}$をとると，四面体$\mathrm{QOAH}$の体積は
\[ \frac{\sqrt{[ス]}}{[セソ]} \]
である．
私立 広島工業大学 2014年 第7問$1$辺の長さが$3$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BDE}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とするとき，外接円の半径と$\mathrm{AO}$の長さを求めよ．
(3)三角すい$\mathrm{ABDE}$の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BDE}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とするとき，外接円の半径と$\mathrm{AO}$の長さを求めよ．
(3)三角すい$\mathrm{ABDE}$の体積を求めよ．
私立 北里大学 2014年 第1問次の各文の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）
私立 武庫川女子大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$～$[$18$]$にあてはまる数字を入れよ．
(1)$\displaystyle \sqrt{\frac{31 \sqrt{3}+31 \sqrt{5}-10 \sqrt{42}-6 \sqrt{70}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$
$=\sqrt{[$1$][$2$]-[$3$] \sqrt{[$4$][$5$][$6$]}}$
$=\sqrt{[$7$][$8$]}-\sqrt{[$9$][$10$]}$
(2)$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=16$，$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱の内部に球がある．球は，三角柱の$5$つの面すべてに接している．このとき，
(i) 底面の三角形の面積は$[$11$][$12$] \sqrt{[$13$]}$である．
(ii) 球の半径は$[$14$] \sqrt{[$15$]}$である．
(iii) 三角柱の体積は$[$16$][$17$][$18$]$である．
(1)$\displaystyle \sqrt{\frac{31 \sqrt{3}+31 \sqrt{5}-10 \sqrt{42}-6 \sqrt{70}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$
$=\sqrt{[$1$][$2$]-[$3$] \sqrt{[$4$][$5$][$6$]}}$
$=\sqrt{[$7$][$8$]}-\sqrt{[$9$][$10$]}$
(2)$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=16$，$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱の内部に球がある．球は，三角柱の$5$つの面すべてに接している．このとき，
(i) 底面の三角形の面積は$[$11$][$12$] \sqrt{[$13$]}$である．
(ii) 球の半径は$[$14$] \sqrt{[$15$]}$である．
(iii) 三角柱の体積は$[$16$][$17$][$18$]$である．
私立 松山大学 2014年 第3問次の空所$[ア]$～$[ソ]$を埋めよ．
図のような一辺が長さ$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$となり，正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウ]}}{[エオ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$となるようにとる．四面体$\mathrm{PBQD}$の体積は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のときに最大となり，これは正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$倍である．
(3)$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のとき，$\angle \mathrm{DPQ}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$であり，$\triangle \mathrm{DPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シス]}}{[セソ]}$である．
図のような一辺が長さ$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$となり，正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウ]}}{[エオ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$となるようにとる．四面体$\mathrm{PBQD}$の体積は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のときに最大となり，これは正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$倍である．
(3)$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のとき，$\angle \mathrm{DPQ}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$であり，$\triangle \mathrm{DPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シス]}}{[セソ]}$である．
公立 大阪市立大学 2014年 第2問座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ t,\ -1)$，$\mathrm{D}(u,\ 2,\ 1)$がある．ただし，$t,\ u$は実数であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は垂直であるとする．次の問いに答えよ．
(1)$t$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるならば$u=4$であることを示せ．
(4)$u=3$のとき四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
(1)$t$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるならば$u=4$であることを示せ．
(4)$u=3$のとき四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
公立 岡山県立大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)体積が$V$，表面積が$S$，底面の半径が$r$の円柱を考える．
(i) $S$を$V$と$r$で表せ．
(ii) $V$の値を一定にするとき，$S$の最小値とそれを与える$r$の値を求めよ．
(2)$x>0$のとき$\displaystyle \log (1+x)>x-\frac{x^2}{2}$であることを示せ．
(1)体積が$V$，表面積が$S$，底面の半径が$r$の円柱を考える．
(i) $S$を$V$と$r$で表せ．
(ii) $V$の値を一定にするとき，$S$の最小値とそれを与える$r$の値を求めよ．
(2)$x>0$のとき$\displaystyle \log (1+x)>x-\frac{x^2}{2}$であることを示せ．
公立 大阪市立大学 2014年 第3問図のような三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$が中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球に内接している．すなわち，三角柱の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$はすべて，中心$\mathrm{O}$，半径$1$の球面上にある．また，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$は合同な正三角形で，四角形$\mathrm{ADEB}$，四角形$\mathrm{BEFC}$，四角形$\mathrm{CFDA}$は合同な長方形であるとする．$\angle \mathrm{AOD}=2 \alpha$，$\angle \mathrm{AOB}=2 \beta$とおく．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{3}$とする．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ．
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}$の値を求めよ．
(2)三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$の体積$V$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．