「体積」について
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国立 群馬大学 2014年 第5問一辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，辺$\mathrm{BF}$上に点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{DH}$上に点$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \mathrm{BP}=\mathrm{DQ}=\frac{3}{4}$となるようにとる．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を含む平面と直線$\mathrm{CG}$の交点を$\mathrm{R}$とする．また直線$\mathrm{PR}$と辺$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{QR}$と辺$\mathrm{GH}$の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)四面体$\mathrm{SGTR}$の体積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PFS}$，$\triangle \mathrm{QTH}$，四角形$\mathrm{FSTH}$，四角形$\mathrm{PSTQ}$及び四角形$\mathrm{PFHQ}$で囲まれた図形の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)四面体$\mathrm{SGTR}$の体積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PFS}$，$\triangle \mathrm{QTH}$，四角形$\mathrm{FSTH}$，四角形$\mathrm{PSTQ}$及び四角形$\mathrm{PFHQ}$で囲まれた図形の体積を求めよ．
国立 群馬大学 2014年 第5問一辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，辺$\mathrm{BF}$上に点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{DH}$上に点$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \mathrm{BP}=\mathrm{DQ}=\frac{3}{4}$となるようにとる．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を含む平面と直線$\mathrm{CG}$の交点を$\mathrm{R}$とする．また直線$\mathrm{PR}$と辺$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{QR}$と辺$\mathrm{GH}$の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)四面体$\mathrm{SGTR}$の体積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PFS}$，$\triangle \mathrm{QTH}$，四角形$\mathrm{FSTH}$，四角形$\mathrm{PSTQ}$及び四角形$\mathrm{PFHQ}$で囲まれた図形の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)四面体$\mathrm{SGTR}$の体積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PFS}$，$\triangle \mathrm{QTH}$，四角形$\mathrm{FSTH}$，四角形$\mathrm{PSTQ}$及び四角形$\mathrm{PFHQ}$で囲まれた図形の体積を求めよ．
国立 山口大学 2014年 第3問四面体$\mathrm{ABCD}$において，
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=1,\quad \mathrm{BC}=\sqrt{3},\quad \angle \mathrm{BDC}=\theta \]
のとき，次の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$を含む平面に垂線を下ろし，その平面との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}$，$\mathrm{BH}$，$\mathrm{CH}$，$\mathrm{DH}$の長さを，それぞれ$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$t=\cos \theta$とする．$\theta$を一定の値に保ったまま点$\mathrm{D}$が動くときの四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を，$t$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を$V(t)$とする．$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で$\theta$が動くときの$V(t)$の最大値を求めなさい．ただし，$V(t)$が最大値をとるときの$\theta$の値は求めなくてよい．
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=1,\quad \mathrm{BC}=\sqrt{3},\quad \angle \mathrm{BDC}=\theta \]
のとき，次の問いに答えなさい．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$から$\triangle \mathrm{BCD}$を含む平面に垂線を下ろし，その平面との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{AH}$，$\mathrm{BH}$，$\mathrm{CH}$，$\mathrm{DH}$の長さを，それぞれ$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$t=\cos \theta$とする．$\theta$を一定の値に保ったまま点$\mathrm{D}$が動くときの四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を，$t$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を$V(t)$とする．$\displaystyle \frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で$\theta$が動くときの$V(t)$の最大値を求めなさい．ただし，$V(t)$が最大値をとるときの$\theta$の値は求めなくてよい．
国立 茨城大学 2014年 第4問$0$でない実数$t$に対して，座標空間における$3$点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( t,\ \frac{1}{1+t^2},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{R} \left( t,\ 0,\ \frac{t}{1+t^2} \right)$を考える．以下の各問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2)実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とする．実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(2)実数$t$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 東京海洋大学 2014年 第3問座標空間内の定点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$と$2$つの点$\mathrm{P}(p,\ p,\ 0)$，$\mathrm{Q}(q,\ -q,\ 0)$が$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$をみたしている．ただし，$p>0$，$q>0$とする．また，以下において$\mathrm{O}$を座標空間の原点とする．このとき次の問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2014年 第1問四面体$\mathrm{ABPQ}$は$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=3$，$\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}=2 \sqrt{2}$，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{12}{5}$，$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{4}$を満たすとする．点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．
(1)線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{PHQ}$の大きさを$\theta$とする．$\sin \theta$の値を求めよ．
(3)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は垂直であることを証明せよ．
(4)四面体$\mathrm{ABPQ}$の体積を求めよ．
(1)線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{PHQ}$の大きさを$\theta$とする．$\sin \theta$の値を求めよ．
(3)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は垂直であることを証明せよ．
(4)四面体$\mathrm{ABPQ}$の体積を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問下図のように，等しい辺の長さが$a$，その挟む角（頂角）が$2 \theta$である二等辺三角形を$4$つ使って四面体を作る．$x=\cos^2 \theta$とおけば，四面体の体積$V$は
\[ V=\frac{[$24$][$25$]}{[$26$][$27$]} (1-[$28$]x) \sqrt{[$29$]x-1} a^3 \]
となる．このように作られる四面体のなかで最大の四面体の体積は
\[ \frac{[$30$] \sqrt{[$31$]}}{[$32$][$33$]}a^3 \]
である．
（図は省略）
\[ V=\frac{[$24$][$25$]}{[$26$][$27$]} (1-[$28$]x) \sqrt{[$29$]x-1} a^3 \]
となる．このように作られる四面体のなかで最大の四面体の体積は
\[ \frac{[$30$] \sqrt{[$31$]}}{[$32$][$33$]}a^3 \]
である．
（図は省略）
私立 慶應義塾大学 2014年 第4問座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$について考える．
四面体$\mathrm{OABC}$を平面$z=t (0<t<3)$で切ったときの切り口の面積を$f(t)$とする．$0<t \leqq 1$のとき$f(t)=[ソ]$である．また，$1<t<3$のとき平面$z=t$と辺$\mathrm{AB}$の交点の座標は$[タ]$となり，$f(t)=[チ]$となる．
次に，四面体$\mathrm{OABC}$において，$2$つの平面$z=t$と$z=t+2 (0<t<1)$の間にはさまれた部分の体積を$g(t)$とすると，その導関数は$g^\prime(t)=[ツ]$であり，$g(t)$は$t=[テ]$のとき最大値をとる．
四面体$\mathrm{OABC}$を平面$z=t (0<t<3)$で切ったときの切り口の面積を$f(t)$とする．$0<t \leqq 1$のとき$f(t)=[ソ]$である．また，$1<t<3$のとき平面$z=t$と辺$\mathrm{AB}$の交点の座標は$[タ]$となり，$f(t)=[チ]$となる．
次に，四面体$\mathrm{OABC}$において，$2$つの平面$z=t$と$z=t+2 (0<t<1)$の間にはさまれた部分の体積を$g(t)$とすると，その導関数は$g^\prime(t)=[ツ]$であり，$g(t)$は$t=[テ]$のとき最大値をとる．
私立 慶應義塾大学 2014年 第4問正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$m$は$0<m<1$を満たす実数の定数とする．$\mathrm{E}$から$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{EH}$を下ろし，直線$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{I}$とする．三角形$\mathrm{ODE}$の面積は$\displaystyle \frac{9 \sqrt{3}}{4}$であり，四面体$\mathrm{ODEF}$の体積は正四面体$\mathrm{OABC}$の体積の$\displaystyle \frac{5}{54}$倍である．このとき，
(1)正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$[$63$] \sqrt{[$64$]}$であり，体積は$[$65$][$66$] \sqrt{[$67$]}$である．
(2)$\displaystyle m=\frac{[$68$]}{[$69$]}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{[$70$][$71$]}{[$72$][$73$]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{[$74$]}{[$75$][$76$]} \overrightarrow{\mathrm{OF}}$である．
(1)正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$[$63$] \sqrt{[$64$]}$であり，体積は$[$65$][$66$] \sqrt{[$67$]}$である．
(2)$\displaystyle m=\frac{[$68$]}{[$69$]}$である．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{[$70$][$71$]}{[$72$][$73$]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{[$74$]}{[$75$][$76$]} \overrightarrow{\mathrm{OF}}$である．
私立 甲南大学 2014年 第2問座標空間に原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 0)$，点$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 0)$があり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$z$軸に平行な直線をとる．その直線上において$z$座標が正となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となるような点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$z$軸に平行な直線をとる．その直線上において$z$座標が正となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となるような点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．