「体積」について
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(10ページ目:全290問中91問~100問を表示)![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
半径$1$の$2$つの球$S_1$と$S_2$が$1$点で接している.互いに重なる部分のない等しい半径を持つ$n$個($n \geqq 3$)の球$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$があり,次の条件(ア),(イ)を満たす.
\mon[(ア)] $T_i$は$S_1$,$S_2$にそれぞれ$1$点で接している($i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$).
\mon[(イ)] $T_i$は$T_{i+1}$に$1$点で接しており($i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$),そして$T_n$は$T_1$に$1$点で接している.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1)$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の共通の半径$r_n$を求めよ.
(2)$S_1$と$S_2$の中心を結ぶ直線のまわりに$T_1$を回転してできる回転体の体積を$V_n$とし,$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の体積の和を$W_n$とするとき,極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{W_n}{V_n} \]
を求めよ.
\mon[(ア)] $T_i$は$S_1$,$S_2$にそれぞれ$1$点で接している($i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$).
\mon[(イ)] $T_i$は$T_{i+1}$に$1$点で接しており($i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$),そして$T_n$は$T_1$に$1$点で接している.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1)$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の共通の半径$r_n$を求めよ.
(2)$S_1$と$S_2$の中心を結ぶ直線のまわりに$T_1$を回転してできる回転体の体積を$V_n$とし,$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の体積の和を$W_n$とするとき,極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{W_n}{V_n} \]
を求めよ.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
一辺の長さが$a$である正四面体の体積が$\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{3}$のとき,次の問いに答えよ.
(1)底面の面積を$a$で表せ.
(2)正四面体の高さを$a$で表せ.
(3)$a$の値を求めよ.
(1)底面の面積を$a$で表せ.
(2)正四面体の高さを$a$で表せ.
(3)$a$の値を求めよ.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
一辺の長さが$a$である正四面体の体積が$\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{3}$のとき,次の問いに答えよ.
(1)底面の面積を$a$で表せ.
(2)正四面体の高さを$a$で表せ.
(3)$a$の値を求めよ.
(1)底面の面積を$a$で表せ.
(2)正四面体の高さを$a$で表せ.
(3)$a$の値を求めよ.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
直円柱に対して,底面の半径を$x$,高さを$h$,表面積(側面積と$2$つの底面積の合計)を$S$,体積を$V$で表すことにする.ただし,$x>0$,$h>0$とする.以下の問いに答えよ.
(1)$S$を$x$と$h$を用いて表せ.
(2)$h$を$x$と$S$を用いて表せ.また,$V$を$x$と$S$を用いて表せ.
(3)$S$が一定のもとで,$V$が最大になるときの$x$の値を求めよ.
(4)$S$が一定のもとで,$V$が最大になるときの$x$と$h$の比,すなわち$x:h$を求めよ.
(1)$S$を$x$と$h$を用いて表せ.
(2)$h$を$x$と$S$を用いて表せ.また,$V$を$x$と$S$を用いて表せ.
(3)$S$が一定のもとで,$V$が最大になるときの$x$の値を求めよ.
(4)$S$が一定のもとで,$V$が最大になるときの$x$と$h$の比,すなわち$x:h$を求めよ.
![東京医科歯科大学](./img/univ/ikashika.png)
$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす実数$\theta$に対し,$xyz$空間内の$4$点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \cos \theta,\ \sin \theta)$,$\mathrm{B}(-\cos \theta,\ -\cos \theta,\ \sin \theta)$,$\mathrm{C}(\cos \theta,\ -\cos \theta,\ -\sin \theta)$,$\mathrm{D}(-\cos \theta,\ \cos \theta,\ -\sin \theta)$を頂点とする四面体の体積を$V(\theta)$,この四面体の$xz$平面による切り口の面積を$S(\theta)$とする.このとき以下の各問いに答えよ.
(1)$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{6} \right),\ V \left( \frac{\pi}{6} \right)$をそれぞれ求めよ.
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$S(\theta)$の最大値を求めよ.
(3)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$V(\theta)$の最大値を求めよ.
(1)$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{6} \right),\ V \left( \frac{\pi}{6} \right)$をそれぞれ求めよ.
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$S(\theta)$の最大値を求めよ.
(3)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における$V(\theta)$の最大値を求めよ.
![九州工業大学](./img/univ/kyushukougyou.png)
空間において$1$点$\mathrm{O}$を固定し,$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが$\overrightarrow{p}$である点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$で表す.$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$,$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$,$\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$において,線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{BC}$を$s:1-s (0<s<1)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.また,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし,$\displaystyle \overrightarrow{h}=\overrightarrow{a}-\frac{9}{16} \overrightarrow{b}+\frac{9}{16} \overrightarrow{c}$を位置ベクトルとする平面$\alpha$上の点を$\mathrm{H}(\overrightarrow{h})$とする.$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{OB}=3 \sqrt{2}$,$\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=4$,$\mathrm{AC}=5$として,次に答えよ.
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$,$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$s$を用いて表せ.また,内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ.
(2)線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ.
(3)$3$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$の定める平面が点$\mathrm{H}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(4)$s$を$(3)$で求めた値とするとき,四面体$\mathrm{OAFC}$の体積$V$を求めよ.
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$,$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$および$s$を用いて表せ.また,内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ.
(2)線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ.
(3)$3$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$の定める平面が点$\mathrm{H}$を通るときの$s$の値を求めよ.
(4)$s$を$(3)$で求めた値とするとき,四面体$\mathrm{OAFC}$の体積$V$を求めよ.
![岐阜大学](./img/univ/gihu.png)
$t$は実数で$0<t<2$とする.図のように,$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$があり,辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$がある.$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=t$のとき,以下の問に答えよ.
(図は省略)
(1)線分$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PQ}$,$\mathrm{QB}$の長さを,それぞれ$t$を用いて表せ.
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき,三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ.
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ.
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき,三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ.
(図は省略)
(1)線分$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PQ}$,$\mathrm{QB}$の長さを,それぞれ$t$を用いて表せ.
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき,三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ.
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ.
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき,三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ.
![岐阜大学](./img/univ/gihu.png)
$t$は実数で$0<t<2$とする.図のように,$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$があり,辺$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{Q}$がある.$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=t$のとき,以下の問に答えよ.
(図は省略)
(1)線分$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PQ}$,$\mathrm{QB}$の長さを,それぞれ$t$を用いて表せ.
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき,三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ.
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ.
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき,三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ.
(図は省略)
(1)線分$\mathrm{BP}$,$\mathrm{PQ}$,$\mathrm{QB}$の長さを,それぞれ$t$を用いて表せ.
(2)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき,三角形$\mathrm{BPQ}$の$3$辺の長さの和の最小値を求めよ.
(3)三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積を$t$を用いて表せ.
(4)$t$が$0<t<2$の範囲を変化するとき,三角錐$\mathrm{ABPQ}$の体積の最大値を求めよ.
![香川大学](./img/univ/kagawa.png)
一辺の長さが$x$の正三角形$\mathrm{ABC}$を底面,点$\mathrm{O}$を頂点とし,$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$である三角錐$\mathrm{OABC}$に半径$1$の球が内接しているとする.ただし,球が三角錐に内接するとは,球が三角錐のすべての面に接することである.このとき,次の問に答えよ.
(1)三角錐$\mathrm{OABC}$の体積を$x$を用いて表せ.
(2)この体積の最小値と,そのときの$x$の値を求めよ.
(1)三角錐$\mathrm{OABC}$の体積を$x$を用いて表せ.
(2)この体積の最小値と,そのときの$x$の値を求めよ.
![山口大学](./img/univ/yamaguchi.png)
図のように,円柱$E$と直円錐$F$が半径$1$の球に内接しており,さらに$E$と$F$の底面は一致している.このとき,次の問いに答えなさい.
(図は省略)
(1)円柱$E$の高さを$h$とするとき,円柱$E$の底面の半径と直円錐$F$の高さを,それぞれ$h$を用いて表しなさい.
(2)半径$1$の球に内接する円柱の体積の最大値を求めなさい.
(3)円柱$E$の体積と直円錐$F$の体積が等しいとする.円柱$E$から直円錐$F$が重なっている部分をくり抜いたとき,くり抜かれて残った立体の体積を求めなさい.
(図は省略)
(1)円柱$E$の高さを$h$とするとき,円柱$E$の底面の半径と直円錐$F$の高さを,それぞれ$h$を用いて表しなさい.
(2)半径$1$の球に内接する円柱の体積の最大値を求めなさい.
(3)円柱$E$の体積と直円錐$F$の体積が等しいとする.円柱$E$から直円錐$F$が重なっている部分をくり抜いたとき,くり抜かれて残った立体の体積を求めなさい.