「位置」について
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公立 大阪府立大学 2013年 第1問スペードの$\mathrm{A},\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の$6$枚と，ハートの$\mathrm{A},\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の$6$枚の合計$12$枚のトランプのカードから$6$枚を選び，下図の正三角形の辺上のア，イ，ウ，エ，オ，カの位置に$1$枚ずつ置く．正三角形の各辺にはそれぞれ$3$枚のカードが置かれるが，このとき，スペードのカードが$3$枚並ぶ辺の数を$n$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$n=3$である場合の数を求めよ．
(2)$n=2$である場合の数を求めよ．
(3)$n=1$である場合の数を求めよ．
（図は省略）
(1)$n=3$である場合の数を求めよ．
(2)$n=2$である場合の数を求めよ．
(3)$n=1$である場合の数を求めよ．
公立 滋賀県立大学 2013年 第3問四面体の$4$つの頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$とし，空間のある点$\mathrm{P}$に関するそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$，$\overrightarrow{a_4}$とする．いま$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$を順に$\mathrm{T}_1$，$\mathrm{T}_2$，$\mathrm{T}_3$，$\mathrm{T}_4$で表しその重心をそれぞれ$\mathrm{G}_1$，$\mathrm{G}_2$，$\mathrm{G}_3$，$\mathrm{G}_4$とする．
(1)点$\mathrm{H}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}=\frac{\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+\overrightarrow{a_4}}{4}$を満たす点とすると，$4$つの直線$\mathrm{A}_i \mathrm{G}_i (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$は$\mathrm{H}$で交わることを示せ．
(2)「直線$\mathrm{A}_i \mathrm{H}$は$\mathrm{T}_i$を含む平面に直交する（$i=1,\ 2,\ 3,\ 4$）」という条件が成り立つと仮定する．このとき$\mathrm{P}$として$\mathrm{H}$を選べば，$\overrightarrow{a_j}$と$\overrightarrow{a_k}$の内積$\overrightarrow{a_j} \cdot \overrightarrow{a_k} (j,\ k=1,\ 2,\ 3,\ 4)$の値は$j \neq k$を満たすどの$j,\ k$に対しても同じであることを示せ．
(3)(2)の条件が成り立てば，四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$は正四面体であることを示せ．
(1)点$\mathrm{H}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}=\frac{\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+\overrightarrow{a_4}}{4}$を満たす点とすると，$4$つの直線$\mathrm{A}_i \mathrm{G}_i (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$は$\mathrm{H}$で交わることを示せ．
(2)「直線$\mathrm{A}_i \mathrm{H}$は$\mathrm{T}_i$を含む平面に直交する（$i=1,\ 2,\ 3,\ 4$）」という条件が成り立つと仮定する．このとき$\mathrm{P}$として$\mathrm{H}$を選べば，$\overrightarrow{a_j}$と$\overrightarrow{a_k}$の内積$\overrightarrow{a_j} \cdot \overrightarrow{a_k} (j,\ k=1,\ 2,\ 3,\ 4)$の値は$j \neq k$を満たすどの$j,\ k$に対しても同じであることを示せ．
(3)(2)の条件が成り立てば，四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$は正四面体であることを示せ．
公立 名古屋市立大学 2013年 第2問$1$から$9$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ計$9$枚ある．図の$\mathrm{A}$から$\mathrm{I}$の位置にこの$9$枚のカードを$1$枚ずつ置くとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)図$1$のように，$1$から$9$の数字が並べられている．$7,\ 8,\ 9$の$3$枚のカードを順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の位置に置くとき，どの行にも同じ数字が現れないカードの置き方は何通りあるか．
(2)図$1$において，どの行にも同じ数字が現れないカードの置き方は何通りあるか．
(3)図$2$において，どの行，どの列にも同じ数字が現れないカードの置き方は何通りあるか．
（図は省略）
(1)図$1$のように，$1$から$9$の数字が並べられている．$7,\ 8,\ 9$の$3$枚のカードを順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の位置に置くとき，どの行にも同じ数字が現れないカードの置き方は何通りあるか．
(2)図$1$において，どの行にも同じ数字が現れないカードの置き方は何通りあるか．
(3)図$2$において，どの行，どの列にも同じ数字が現れないカードの置き方は何通りあるか．
公立 島根県立大学 2013年 第2問原点$\mathrm{O}$を起点に$\mathrm{XY}$座標軸上を次の法則に従って動く$2$つの点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．コインを投げて表が出れば点$\mathrm{A}$は$\mathrm{X}$軸上を$+1$だけ動き，点$\mathrm{B}$はその場にとどまる．一方，裏が出れば点$\mathrm{A}$はその場にとどまり，点$\mathrm{B}$は$\mathrm{Y}$軸上を$+1$だけ動く．次の問いに答えよ．
(1)$6$回コインを投げたとき，点$\mathrm{A}$が$(6,\ 0)$の位置に到達する確率を求めよ．
(2)$4$回コインを投げたとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$になる確率を求めよ．
(3)$6$回コインを投げたときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ．
(1)$6$回コインを投げたとき，点$\mathrm{A}$が$(6,\ 0)$の位置に到達する確率を求めよ．
(2)$4$回コインを投げたとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle \frac{3}{2}$になる確率を求めよ．
(3)$6$回コインを投げたときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ．
国立 九州大学 2012年 第2問関数$f(x) = x^3+3x^2+x-1$を考える．曲線$C:y=f(x)$について，以下の問いに答えよ．
(1)$t \geqq 0$のとき，曲線$C$は傾きが$t$である接線を$2$本持つことを示せ．
(2)(1)において，傾きが$t$である$2$本の接線と曲線$C$との接点を，それぞれP$(p,\ f(p))$，Q$(q,\ f(q))$とする(ただし$p<q$)．このとき，点Pと点Qは点A$(-1,\ 0)$に関して対称の位置にあることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$2$点P，Qの間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときのP，Qの$x$座標$p,\ q$もそれぞれ求めよ．
(1)$t \geqq 0$のとき，曲線$C$は傾きが$t$である接線を$2$本持つことを示せ．
(2)(1)において，傾きが$t$である$2$本の接線と曲線$C$との接点を，それぞれP$(p,\ f(p))$，Q$(q,\ f(q))$とする(ただし$p<q$)．このとき，点Pと点Qは点A$(-1,\ 0)$に関して対称の位置にあることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，$2$点P，Qの間の距離の最小値を求めよ．また，最小値を与えるときのP，Qの$x$座標$p,\ q$もそれぞれ求めよ．
国立 埼玉大学 2012年 第1問実数$t$に対し，$xy$平面において$2$つの位置ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \left(\strut \frac{t}{2}+1,\ \frac{t}{2} \right),\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \left(\strut t,\ \frac{t^2}{2} \right) \]
を考える．
(1)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行である．$\rfloor$
(2)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行であり，かつ$t>1$である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \left(\strut \frac{t}{2}+1,\ \frac{t}{2} \right),\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \left(\strut t,\ \frac{t^2}{2} \right) \]
を考える．
(1)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行である．$\rfloor$
(2)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行であり，かつ$t>1$である．
国立 埼玉大学 2012年 第1問実数$t$に対し，$xy$平面において$2$つの位置ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \left(\strut \frac{t}{2}+1,\ \frac{t}{2} \right),\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \left(\strut t,\ \frac{t^2}{2} \right) \]
を考える．
(1)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行である．$\rfloor$
(2)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行であり，かつ$t>1$である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \left(\strut \frac{t}{2}+1,\ \frac{t}{2} \right),\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \left(\strut t,\ \frac{t^2}{2} \right) \]
を考える．
(1)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行である．$\rfloor$
(2)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行であり，かつ$t>1$である．
国立 筑波大学 2012年 第6問2つの双曲線$C:x^2-y^2=1,\ H:x^2-y^2=-1$を考える．双曲線$H$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$に対して，方程式$sx-ty=1$で定まる直線を$\ell$とする．
(1)直線$\ell$は点$\mathrm{P}$を通らないことを示せ．
(2)直線$\ell$と双曲線$C$は異なる$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$で交わることを示し，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$の座標を$s,\ t$を用いて表せ．
(3)(2)における$3$点$\mathrm{G}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対して，$\triangle \mathrm{GQR}$の面積は点$\mathrm{P}(s,\ t)$の位置によらず一定であることを示せ．
(1)直線$\ell$は点$\mathrm{P}$を通らないことを示せ．
(2)直線$\ell$と双曲線$C$は異なる$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$で交わることを示し，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$の座標を$s,\ t$を用いて表せ．
(3)(2)における$3$点$\mathrm{G}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対して，$\triangle \mathrm{GQR}$の面積は点$\mathrm{P}(s,\ t)$の位置によらず一定であることを示せ．
国立 大分大学 2012年 第2問三角形OABで$\displaystyle \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{6}$とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)三角形OABの外接円の中心(外心)Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)頂点OとAからそれぞれの対辺ABとOBに下ろした垂線の交点(垂心)をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の値を求めよ．
(4)三角形OABの内接円の中心(内心)Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(1)三角形OABの外接円の中心(外心)Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)頂点OとAからそれぞれの対辺ABとOBに下ろした垂線の交点(垂心)をHとするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$の値を求めよ．
(4)三角形OABの内接円の中心(内心)Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問半径2の円板が$x$軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線$C$を考える．円板の中心の最初の位置を$(0,\ 2)$，点Pの最初の位置を$(0,\ 1)$とする．
(1)円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき，Pの座標は
\[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \]
で与えられることを示せ．
(2)点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線を法線という．
(3)曲線$C$と$x$軸，2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき，Pの座標は
\[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \]
で与えられることを示せ．
(2)点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線を法線という．
(3)曲線$C$と$x$軸，2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．