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公立 名古屋市立大学 2011年 第3問平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$と実数$p \ (0<p<1)$に対して，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$の位置ベクトルを
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_1}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_2}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_3}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_4}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_5}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p^4\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \cdots \nonumber
\end{eqnarray}
によって定義する．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}$を$n,\ p,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とする．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{AB}$をどのような比に分けるか答えよ．
(3)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OQ}$をどのような比に分けるか答えよ．
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_1}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_2}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_3}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_4}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_5}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p^4\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \cdots \nonumber
\end{eqnarray}
によって定義する．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}$を$n,\ p,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とする．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{AB}$をどのような比に分けるか答えよ．
(3)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OQ}$をどのような比に分けるか答えよ．
公立 横浜市立大学 2011年 第3問平面上の点$\mathrm{A}$を中心とする半径$a$の円から，中心角が${60}^\circ$で$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=a$となる扇形$\mathrm{APQ}$を切り取る．つぎに線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$を貼り合わせて，$\mathrm{A}$を頂点とする直円錐$K$を作り，これを点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間におく．
$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸，$x$軸上の正の位置にとり，扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする．
また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする．
（図は省略）
以下の問いに答えよ．
(1)$S$の半径を$b$とする．$S$上の点$\mathrm{R}(b \cos \theta,\ b \sin \theta,\ 0) (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$に対し，$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする．$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする．$r$を$a$と$\theta$を用いて表し，定積分
\[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．ただし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$を$xy$平面に{\bf 正射影したベクトル}とは$\overrightarrow{\mathrm{OE}^\prime}=(a_1,\ a_2,\ 0)$のことである．
$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸，$x$軸上の正の位置にとり，扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする．
また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする．
（図は省略）
以下の問いに答えよ．
(1)$S$の半径を$b$とする．$S$上の点$\mathrm{R}(b \cos \theta,\ b \sin \theta,\ 0) (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$に対し，$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする．$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする．$r$を$a$と$\theta$を用いて表し，定積分
\[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．ただし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$を$xy$平面に{\bf 正射影したベクトル}とは$\overrightarrow{\mathrm{OE}^\prime}=(a_1,\ a_2,\ 0)$のことである．
公立 京都府立大学 2011年 第3問$n$を$5$以上の整数とする．座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$n$の円$C_1$と，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．$C_2$が$C_1$に外接しながらすべることなく反時計回りに転がるとき，$C_2$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を考える．はじめに$\mathrm{A}$は$(n+1,\ 0)$，$\mathrm{P}$は$(n,\ 0)$の位置にあるものとする．$\mathrm{P}$が$(n,\ 0)$から出発し，再び$(n,\ 0)$に戻るまで，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．線分$\mathrm{OA}$と$x$軸の正の部分のなす角が$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$であるときの$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)区間$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{n}$で$x(\theta)$の増減を調べよ．
(3)$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 東北大学 2010年 第3問数直線上を動く点Pがある．裏表の出る確率が等しい硬貨を2枚投げて，2枚とも表が出たらPは正の向きに1だけ移動し，2枚とも裏が出たらPは負の方向に1だけ移動し，それ以外のときはその位置にとどまるものとする．Pが原点Oを出発点として，このような試行を$n$回繰り返して到着した位置を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$S_2 = -1$となる確率を求めよ．
(2)$S_3 = 1$となる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回繰り返して出た表の総数を$i$とするとき，$S_n$を求めよ．
(4)$k$を整数とするとき，$S_n = k$となる確率を求めよ．
(1)$S_2 = -1$となる確率を求めよ．
(2)$S_3 = 1$となる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回繰り返して出た表の総数を$i$とするとき，$S_n$を求めよ．
(4)$k$を整数とするとき，$S_n = k$となる確率を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第2問数直線上を動く点Pが，はじめ原点の位置にある．さいころを投げて，偶数の目が出ればPは正の向きに出た目の数だけ進み，奇数の目が出ればPは負の向きに出た目の数だけ進む．さいころを続けて4回投げるとき，次の確率を求めよ．
(1)少なくとも2回は2の目が出て，最後にPの座標が2になる確率
(2)最後にPの座標が2になる確率
(1)少なくとも2回は2の目が出て，最後にPの座標が2になる確率
(2)最後にPの座標が2になる確率
国立 横浜国立大学 2010年 第2問1個のいびつなさいころがある．$1,\ 2,\ 3,\ 4$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{p}{2}$であり，$5,\ 6$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1-2p}{2}$である．ただし，$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする．このさいころを投げて，$xy$平面上の点Qを次のように動かす．
\mon[(i)] 1または2の目が出たときには，Qを$x$軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(ii)] 3または4の目が出たときには，Qを$y$軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(iii)] 5または6の目が出たときには，Qを動かさない．
Qは最初原点$(0,\ 0)$にある．このさいころを$(n+1)$回投げ，Qが通った点(原点およびQの最終位置の点を含む)の集合を$S$とする．ただし，$n$は自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(1,\ n-1)$を含む確率を求めよ．
(2)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が領域$x+y<n$に含まれる確率を求めよ．
(3)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(k,\ n-k)$を含むならば得点$2^k$点$(k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$が与えられ，$S$が領域$x+y<n$に含まれるならば得点0点が与えられるとする．得点の期待値を求めよ．
\mon[(i)] 1または2の目が出たときには，Qを$x$軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(ii)] 3または4の目が出たときには，Qを$y$軸の正の方向に1だけ動かす．
\mon[(iii)] 5または6の目が出たときには，Qを動かさない．
Qは最初原点$(0,\ 0)$にある．このさいころを$(n+1)$回投げ，Qが通った点(原点およびQの最終位置の点を含む)の集合を$S$とする．ただし，$n$は自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(1,\ n-1)$を含む確率を求めよ．
(2)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が領域$x+y<n$に含まれる確率を求めよ．
(3)さいころを$(n+1)$回投げたとき，$S$が点$(k,\ n-k)$を含むならば得点$2^k$点$(k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$が与えられ，$S$が領域$x+y<n$に含まれるならば得点0点が与えられるとする．得点の期待値を求めよ．
国立 大阪大学 2010年 第5問$n$を$0$以上の整数とする．立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の頂点を，以下のように移動する$2$つの動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．時刻$0$には$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に位置し，$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{C}$に位置している．時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置していれば，時刻$n+1$には，$\mathrm{P}$は時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移り，$\mathrm{Q}$も時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移る．一方，時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点に位置していれば，時刻$n+1$には$\mathrm{P}$も$\mathrm{Q}$も時刻$n$の位置からは移動しない．
(1)時刻$1$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．
(2)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ．
(3)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか，またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする．また， 時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}$，他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする．$p_{n+1}$を，$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．
（図は省略）
(1)時刻$1$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．
(2)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ．
(3)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか，またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする．また， 時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}$，他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする．$p_{n+1}$を，$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．
（図は省略）
国立 豊橋技術科学大学 2010年 第4問図に示す正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．点$\mathrm{P}$は最初頂点$\mathrm{A}$にあって， \\
サイコロを投げて，$1$または$2$の目が出たとき，点$\mathrm{P}$は右まわり \\
に一つ隣の頂点$\mathrm{B}$に移動する．一方，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目 \\
が出たとき，点$\mathrm{P}$は左まわりに二つ隣の頂点$\mathrm{E}$に移動する． \\
サイコロを$1$度投げて点$\mathrm{P}$が移動するのを$1$試行とし，この試行 \\
を指定された回数だけ繰り返す．以下の問いに答えよ．
\img{410_1079_2010_2}{45}
(1)最初の試行後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_1$，続く$2$回目の試行を行った後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_2$とする．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の$3$個の点を頂点とする三角形が正三角形になる確率を求めよ．
(2)$2$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にある確率を求めよ．
(3)$6$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にない確率を求めよ．
サイコロを投げて，$1$または$2$の目が出たとき，点$\mathrm{P}$は右まわり \\
に一つ隣の頂点$\mathrm{B}$に移動する．一方，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目 \\
が出たとき，点$\mathrm{P}$は左まわりに二つ隣の頂点$\mathrm{E}$に移動する． \\
サイコロを$1$度投げて点$\mathrm{P}$が移動するのを$1$試行とし，この試行 \\
を指定された回数だけ繰り返す．以下の問いに答えよ．
\img{410_1079_2010_2}{45}
(1)最初の試行後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_1$，続く$2$回目の試行を行った後の点$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{P}_2$とする．このとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の$3$個の点を頂点とする三角形が正三角形になる確率を求めよ．
(2)$2$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にある確率を求めよ．
(3)$6$回の試行後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にない確率を求めよ．
国立 九州工業大学 2010年 第2問Oを原点とする座標空間の2点A$(0,\ 0,\ 2)$，P$(\cos \theta,\ 2+\sin \theta,\ 1)$に対して，直線AP上の点で原点Oから最も近い点をQ$(X,\ Y,\ Z)$とする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$として，次に答えよ．
(1)$X,\ Y,\ Z$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0,\ \pi,\ \frac{3}{2}\pi$のときの点Qの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t,\ u$を$\theta$を用いて表せ．また，$s+t+u$の値を求めよ．
(3)点Qから$xy$平面にひいた垂線と$xy$平面の交点をR$(X,\ Y,\ 0)$とする．$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$xy$平面における点Rの軌跡を求めよ．
(1)$X,\ Y,\ Z$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$\displaystyle 0,\ \pi,\ \frac{3}{2}\pi$のときの点Qの位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とする．$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$をみたす実数$s,\ t,\ u$を$\theta$を用いて表せ．また，$s+t+u$の値を求めよ．
(3)点Qから$xy$平面にひいた垂線と$xy$平面の交点をR$(X,\ Y,\ 0)$とする．$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$xy$平面における点Rの軌跡を求めよ．
国立 大阪教育大学 2010年 第1問平面上に，点O，Aを$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$であるようにとる．Oを中心にAを反時計回りに，$\displaystyle \frac{\pi}{6}$回転させた位置にある点をB，$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた位置にある点をCとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表す．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする．また，Bを通って直線ACに平行な直線と，直線OAとの交点をEとする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す．このとき，$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ．
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]
(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする．また，Bを通って直線ACに平行な直線と，直線OAとの交点をEとする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す．このとき，$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ．
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]