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国立 豊橋技術科学大学 2016年 第4問以下の問いに答えよ．ただし，解が分数になるときは既約分数とせよ．
(1)赤玉が$3$個，青玉が$7$個入っている企業$\mathrm{A}$の箱を$a$箱用意し，赤玉が$1$個，青玉が$19$個入っている企業$\mathrm{B}$の箱を$20$箱用意する．すべての箱の玉を混ぜ，その中から$1$個取り出した玉が赤玉となる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$となった．企業$\mathrm{A}$の箱の数$a$を求めよ．
(2)企業$\mathrm{A}$ではある玉を$10$個ずつ$1$つの箱につめている．$10$個のうち赤玉が$3$個，青玉が$7$個含まれているとする．
(i) $1$箱の中から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を確認して戻すということを$2$回行う．$2$回とも赤玉となる確率を求めよ．
(ii) $1$箱の中から一度に無作為に$2$個の玉を取り出す．$2$個とも赤玉となる確率を求めよ．
(iii) 赤玉が$3$個，青玉が$7$個つめられた箱を$3$箱用意する．$1$箱から一度に無作為に$5$個の玉を取り出し，色を確認する．$3$箱とも，取り出した玉のうち赤玉が$1$個以下となる確率を求めよ．
(1)赤玉が$3$個，青玉が$7$個入っている企業$\mathrm{A}$の箱を$a$箱用意し，赤玉が$1$個，青玉が$19$個入っている企業$\mathrm{B}$の箱を$20$箱用意する．すべての箱の玉を混ぜ，その中から$1$個取り出した玉が赤玉となる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$となった．企業$\mathrm{A}$の箱の数$a$を求めよ．
(2)企業$\mathrm{A}$ではある玉を$10$個ずつ$1$つの箱につめている．$10$個のうち赤玉が$3$個，青玉が$7$個含まれているとする．
(i) $1$箱の中から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を確認して戻すということを$2$回行う．$2$回とも赤玉となる確率を求めよ．
(ii) $1$箱の中から一度に無作為に$2$個の玉を取り出す．$2$個とも赤玉となる確率を求めよ．
(iii) 赤玉が$3$個，青玉が$7$個つめられた箱を$3$箱用意する．$1$箱から一度に無作為に$5$個の玉を取り出し，色を確認する．$3$箱とも，取り出した玉のうち赤玉が$1$個以下となる確率を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問$\mathrm{M}$社はブドウを栽培し，それを原料にしたワインを醸造して世界中に販売している，としよう．一般には，企業の業績には，社内のさまざまな活動だけでなく，社外の要因も大きくかかわっている．しかしながら，ここでは，問題が複雑にならないように，一部の活動に限定して，$\mathrm{M}$社の醸造計画を考えてみよう．
栽培および醸造において，量と質には，醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する，という関係があると仮定する．この関係は，
\[ q=a-bx \]
という単純な式で表されるとする．ここで，$x$はワインの醸造量（リットル），$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし，$a$と$b$は正の実数とする．また，変数$x$のとり得る値の範囲は，$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする．
醸造されるワインはすべて同一の品質で，同一の価格で販売されるものとし，その価格を$p$（円／リットル）で表す．市場において，品質の高いワインは希少性が増すため，その価格は非常に高いものになる．この関係は，
\[ p=cq^2 \]
で表されると仮定する．ただし，$c$は正の実数とする．また，醸造されたワインは，上記で定まる価格で，すべて残らずに販売されてしまうものとする．
$\mathrm{M}$社は，以上の諸条件を前提にして，その年の栽培および醸造を行う．すなわち，醸造量を$x$と決め，それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより，品質の指標が$q$となるワインを作り，その全量（すなわち$x$）を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し，売上高$y=px$（円）を得る．
(1)売上高は，
\[ x=\frac{[$69$]}{[$70$]} \cdot \frac{a}{b} \ \text{（リットル）} \]
のとき，最大値
\[ \frac{[$71$]}{[$72$][$73$]} \cdot \frac{ca \!\!\! \raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{$74$}}}{b} \ \text{（円）} \]
をとる．
(2)次に，ワインを醸造するに際し，技術上の制約や販売上の都合などの理由で，醸造量の下限が設けられているとしよう．この下限を正の実数$m$（リットル）で表す．$x$の取り得る値の範囲には，$x$が$m$以上という条件が追加されることになる．このときの売上高の最大値を$\overline{y}$で表し，それを与える醸造量を$\overline{x}$で表す．$\overline{x}$は$m$の関数であるので，これを$\overline{x}=f(m)$で表す．関数$f(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
同様に，$\overline{y}$も$m$の関数であるので，これを$\overline{y}=g(m)$で表す．関数$g(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
栽培および醸造において，量と質には，醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する，という関係があると仮定する．この関係は，
\[ q=a-bx \]
という単純な式で表されるとする．ここで，$x$はワインの醸造量（リットル），$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし，$a$と$b$は正の実数とする．また，変数$x$のとり得る値の範囲は，$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする．
醸造されるワインはすべて同一の品質で，同一の価格で販売されるものとし，その価格を$p$（円／リットル）で表す．市場において，品質の高いワインは希少性が増すため，その価格は非常に高いものになる．この関係は，
\[ p=cq^2 \]
で表されると仮定する．ただし，$c$は正の実数とする．また，醸造されたワインは，上記で定まる価格で，すべて残らずに販売されてしまうものとする．
$\mathrm{M}$社は，以上の諸条件を前提にして，その年の栽培および醸造を行う．すなわち，醸造量を$x$と決め，それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより，品質の指標が$q$となるワインを作り，その全量（すなわち$x$）を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し，売上高$y=px$（円）を得る．
(1)売上高は，
\[ x=\frac{[$69$]}{[$70$]} \cdot \frac{a}{b} \ \text{（リットル）} \]
のとき，最大値
\[ \frac{[$71$]}{[$72$][$73$]} \cdot \frac{ca \!\!\! \raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{$74$}}}{b} \ \text{（円）} \]
をとる．
(2)次に，ワインを醸造するに際し，技術上の制約や販売上の都合などの理由で，醸造量の下限が設けられているとしよう．この下限を正の実数$m$（リットル）で表す．$x$の取り得る値の範囲には，$x$が$m$以上という条件が追加されることになる．このときの売上高の最大値を$\overline{y}$で表し，それを与える醸造量を$\overline{x}$で表す．$\overline{x}$は$m$の関数であるので，これを$\overline{x}=f(m)$で表す．関数$f(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
同様に，$\overline{y}$も$m$の関数であるので，これを$\overline{y}=g(m)$で表す．関数$g(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品を同時に開発しており，各新製品の開発に成功する確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$である．すべての開発の結果が出た後に企業$\mathrm{X}$が存続できるための必要十分条件は，$n$個のうち$1$個以上の新製品の開発に成功していることである．ただし，各新製品の開発は独立な試行であるとする．企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品すべての開発に失敗する確率を$p_n$，また企業$\mathrm{X}$が存続できる確率を$q_n$とする．以下では，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(1)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(2)$q_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{k}{1000}<q_{50}<\frac{k+1}{1000}$を満たす自然数$k$を求めよ．
(1)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(2)$q_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{k}{1000}<q_{50}<\frac{k+1}{1000}$を満たす自然数$k$を求めよ．
私立 獨協大学 2015年 第1問次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．
(1)$a$を正の定数とするとき，方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする．$a=[$1$]$のとき，$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$，$[$3$]$となる．ただし，$[$2$]$，$[$3$]$は解答の順序を問わない．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$とする．$a=2$，$b=3$のとき，$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である．また，$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき，$c=[$5$]$となる．
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき，$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である．
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は，$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり，$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる．
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[$11$]$である．
(6)男性$8$人，女性$10$人からなる企業があるとする．このとき，男性$2$人，女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである．また，この$5$人の役員を選んだとき，役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである．
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で，大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり，それぞれを$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{b}=([$14$])$，$\overrightarrow{c}=([$15$])$である．ただし，$[$14$]$，$[$15$]$は解答の順序を問わない．
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える．この数列の第$n$項を$a_n$で表すと，$a_n=[$16$]$となるので，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる．
(1)$a$を正の定数とするとき，方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする．$a=[$1$]$のとき，$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$，$[$3$]$となる．ただし，$[$2$]$，$[$3$]$は解答の順序を問わない．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$とする．$a=2$，$b=3$のとき，$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である．また，$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき，$c=[$5$]$となる．
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき，$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である．
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は，$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり，$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる．
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[$11$]$である．
(6)男性$8$人，女性$10$人からなる企業があるとする．このとき，男性$2$人，女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである．また，この$5$人の役員を選んだとき，役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである．
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で，大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり，それぞれを$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{b}=([$14$])$，$\overrightarrow{c}=([$15$])$である．ただし，$[$14$]$，$[$15$]$は解答の順序を問わない．
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える．この数列の第$n$項を$a_n$で表すと，$a_n=[$16$]$となるので，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる．
国立 鹿児島大学 2014年 第8問次の各問いに答えよ．
(1)数字$1$が書かれた玉$a$個（$a \geqq 1$）と，数字$2$が書かれた玉$1$個がある．これら$a+1$個の玉を母集団として，玉に書かれている数字を変量とする．このとき，この母集団から復元抽出によって大きさ$3$の無作為標本を抽出し，その玉の数字を取り出した順に$X_1$，$X_2$，$X_3$とする．標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$の平均$E(\overline{X})$が$\displaystyle \frac{3}{2}$であるとき，$\overline{X}$の確率分布とその分散$V(\overline{X})$を求めよ．ただし，復元抽出とは，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを$1$個取り出す抽出法である．
(2)ある企業の入社試験は採用枠$300$名のところ$500$名の応募があった．試験の結果は$500$点満点の試験に対し，平均点$245$点，標準偏差$50$点であった．得点の分布が正規分布であるとみなされるとき，合格最低点はおよそ何点であるか．小数点以下を切り上げて答えよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき，$P(Z>0.25)=0.4$，$P(Z>0.5)=0.3$，$P(Z>0.54)=0.2$とする．
(1)数字$1$が書かれた玉$a$個（$a \geqq 1$）と，数字$2$が書かれた玉$1$個がある．これら$a+1$個の玉を母集団として，玉に書かれている数字を変量とする．このとき，この母集団から復元抽出によって大きさ$3$の無作為標本を抽出し，その玉の数字を取り出した順に$X_1$，$X_2$，$X_3$とする．標本平均$\displaystyle \overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$の平均$E(\overline{X})$が$\displaystyle \frac{3}{2}$であるとき，$\overline{X}$の確率分布とその分散$V(\overline{X})$を求めよ．ただし，復元抽出とは，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを$1$個取り出す抽出法である．
(2)ある企業の入社試験は採用枠$300$名のところ$500$名の応募があった．試験の結果は$500$点満点の試験に対し，平均点$245$点，標準偏差$50$点であった．得点の分布が正規分布であるとみなされるとき，合格最低点はおよそ何点であるか．小数点以下を切り上げて答えよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布に従うとき，$P(Z>0.25)=0.4$，$P(Z>0.5)=0.3$，$P(Z>0.54)=0.2$とする．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問ある企業が毎年$x$リットルの液体製品を製造している．生産するための総費用を$c$，設備の規模を$k$とする．製品1リットルの価格を$p$とし
\[ c= 0.01x^3+0.8x^2+(4-k)x+5k^2 \]
が成り立つとする．このとき利潤は$px-c$である．
(1)$p=15,\ k=1$のとき，$x$が
\[ \frac{[(9)][(10)]}{[(11)][(12)]} \]
のとき利潤は最大となる．
(2)生産量$x$を変えずに，設備の規模$k$を変えて総費用$c$を最小化することを考えると
\[ k=\frac{[(13)][(14)]}{[(15)][(16)]} x \]
である．
(3)$p=19$とし，$k$と$x$は(2)で求めた関係式を満たすとする．このとき$x$が
\[ [(17)][(18)][(19)]+[(20)][(21)]\sqrt{[(22)]} \]
のとき利潤は最大となる．
\[ c= 0.01x^3+0.8x^2+(4-k)x+5k^2 \]
が成り立つとする．このとき利潤は$px-c$である．
(1)$p=15,\ k=1$のとき，$x$が
\[ \frac{[(9)][(10)]}{[(11)][(12)]} \]
のとき利潤は最大となる．
(2)生産量$x$を変えずに，設備の規模$k$を変えて総費用$c$を最小化することを考えると
\[ k=\frac{[(13)][(14)]}{[(15)][(16)]} x \]
である．
(3)$p=19$とし，$k$と$x$は(2)で求めた関係式を満たすとする．このとき$x$が
\[ [(17)][(18)][(19)]+[(20)][(21)]\sqrt{[(22)]} \]
のとき利潤は最大となる．
公立 釧路公立大学 2010年 第1問経済学において，企業とは自社の利益を最大にすることを目標に活動している組織であり，企業の利益は「売上総額$-$生産費用」で計算されると考えられている．
いま，ある企業が$1$日$x$台（ただし$x \geqq 0$とする）の太陽光パネルを生産している．その$1$台あたりの販売価格$p$万円および$x$台生産するための生産費用$c$万円は，生産台数$x$の関数で表され，それぞれ$p=-4x+a$，$c=x^2+b$である（$a,\ b$は定数である）．ただし，太陽光パネルの生産台数は工場の生産能力の限界により，$1$日$10$台までに制限されている．また，生産した太陽光パネルはその日のうちにすべて売却している．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)この企業の$1$日あたりの利益$f(x)$を生産台数$x$の関数で表せ．
(2)$a=80$，$b=200$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(3)$a=150$，$b=300$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(4)$a=40$のとき，この企業がどのような生産台数を選んだとしても赤字にならない（選択可能なすべての$x$に対して，$f(x) \geqq 0$となる）$b$の範囲を求めよ．
いま，ある企業が$1$日$x$台（ただし$x \geqq 0$とする）の太陽光パネルを生産している．その$1$台あたりの販売価格$p$万円および$x$台生産するための生産費用$c$万円は，生産台数$x$の関数で表され，それぞれ$p=-4x+a$，$c=x^2+b$である（$a,\ b$は定数である）．ただし，太陽光パネルの生産台数は工場の生産能力の限界により，$1$日$10$台までに制限されている．また，生産した太陽光パネルはその日のうちにすべて売却している．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)この企業の$1$日あたりの利益$f(x)$を生産台数$x$の関数で表せ．
(2)$a=80$，$b=200$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(3)$a=150$，$b=300$のとき，$1$日あたりの利益を最大にするための生産台数とそのときの利益を求めよ．
(4)$a=40$のとき，この企業がどのような生産台数を選んだとしても赤字にならない（選択可能なすべての$x$に対して，$f(x) \geqq 0$となる）$b$の範囲を求めよ．