「任意」について
タグ「任意」の検索結果
（8ページ目：全118問中71問～80問を表示）
国立 東京大学 2011年 第2問実数$x$の小数部分を，$0 \leqq y<1$かつ$x-y$が整数となる実数$y$のこととし，これを記号$\langle x \rangle$で表す．実数$a$に対して，無限数列$\{a_n\}$の各項$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように順次定める．
\[ a_1=\langle a\rangle \]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_n \neq 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}= \displaystyle \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle \\
a_n = 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}=0
\end{array}
\right.
\]
(1)$a=\sqrt{2}$のとき，数列$\{a_n\}$を求めよ．
(2)任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ．
\[ a_1=\langle a\rangle \]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_n \neq 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}= \displaystyle \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle \\
a_n = 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}=0
\end{array}
\right.
\]
(1)$a=\sqrt{2}$のとき，数列$\{a_n\}$を求めよ．
(2)任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ．
国立 東京大学 2011年 第2問実数$x$の小数部分を，$0 \leqq y<1$かつ$x-y$が整数となる実数$y$のこととし，これを記号$\langle x \rangle$で表す．実数$a$に対して，無限数列$\{a_n\}$の各項$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように順次定める．
\[ a_1=\langle a\rangle \]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_n \neq 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}= \displaystyle \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle \\
a_n = 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}=0
\end{array}
\right.
\]
(1)$a=\sqrt{2}$のとき，数列$\{a_n\}$を求めよ．
(2)任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ．
(3)$a$が有理数であるとする．$a$を整数$p$と自然数$q$を用いて$\displaystyle a=\frac{p}{q}$と表すとき，$q$以上のすべての自然数$n$に対して，$a_n=0$であることを示せ．
\[ a_1=\langle a\rangle \]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_n \neq 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}= \displaystyle \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle \\
a_n = 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}=0
\end{array}
\right.
\]
(1)$a=\sqrt{2}$のとき，数列$\{a_n\}$を求めよ．
(2)任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ．
(3)$a$が有理数であるとする．$a$を整数$p$と自然数$q$を用いて$\displaystyle a=\frac{p}{q}$と表すとき，$q$以上のすべての自然数$n$に対して，$a_n=0$であることを示せ．
国立 大阪大学 2011年 第3問$a,\ b,\ c$を実数とする．ベクトル$\overrightarrow{v_1}=(3,\ 0),\ \overrightarrow{v_2}=(1,\ 2\sqrt{2})$をとり，$\overrightarrow{v_3}=a\overrightarrow{v_1}+b\overrightarrow{v_2}$とおく．座標平面上のベクトル$\overrightarrow{p}$に対する条件
\[ (*) \qquad (\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_1}+(\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_2}+(\overrightarrow{v_3}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_3} = c\overrightarrow{p} \]
を考える．ここで$\overrightarrow{v_i}\cdot \overrightarrow{p} \ (i=1,\ 2,\ 3)$はベクトル$\overrightarrow{v_i}$とベクトル$\overrightarrow{p}$の内積を表す．このとき以下の問いに答えよ．
(1)座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,\ y)$が，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを，$s$および$t$の各々を$x,\ y$の式で表すことによって示せ．
(2)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件$(*)$をみたすならば，座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$こ対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたすことを示せ．
(3)座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたす．このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
\[ (*) \qquad (\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_1}+(\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_2}+(\overrightarrow{v_3}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_3} = c\overrightarrow{p} \]
を考える．ここで$\overrightarrow{v_i}\cdot \overrightarrow{p} \ (i=1,\ 2,\ 3)$はベクトル$\overrightarrow{v_i}$とベクトル$\overrightarrow{p}$の内積を表す．このとき以下の問いに答えよ．
(1)座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,\ y)$が，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを，$s$および$t$の各々を$x,\ y$の式で表すことによって示せ．
(2)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件$(*)$をみたすならば，座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$こ対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたすことを示せ．
(3)座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたす．このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
国立 静岡大学 2011年 第4問Aの袋には赤球3個と白球2個が，Bの袋にも赤球3個と白球2個が入っている．A，Bの袋から，それぞれ任意に1個の球を同時に取り出す．取り出した球は元に戻さず，これを1回の操作とする．この操作を4回繰り返すとき，次の問いに
答えよ．
(1)1回目の操作で取り出された2個の球がともに赤球である確率を求めよ．
(2)1回目の操作で取り出された2個の球と2回目の操作で取り出された2個の球がすべて赤球である確率を求めよ．
(3)初めて白球が取り出されるまでの球を取り出す操作の回数の期待値を求めよ．
答えよ．
(1)1回目の操作で取り出された2個の球がともに赤球である確率を求めよ．
(2)1回目の操作で取り出された2個の球と2回目の操作で取り出された2個の球がすべて赤球である確率を求めよ．
(3)初めて白球が取り出されるまでの球を取り出す操作の回数の期待値を求めよ．
国立 静岡大学 2011年 第4問Aの袋には赤球3個と白球2個が，Bの袋にも赤球3個と白球2個が入っている．A，Bの袋から，それぞれ任意に1個の球を同時に取り出す．取り出した球は元に戻さず，これを1回の操作とする．この操作を4回繰り返すとき，次の問いに
答えよ．
(1)1回目の操作で取り出された2個の球がともに赤球である確率を求めよ．
(2)1回目の操作で取り出された2個の球と2回目の操作で取り出された2個の球がすべて赤球である確率を求めよ．
(3)初めて白球が取り出されるまでの球を取り出す操作の回数の期待値を求めよ．
答えよ．
(1)1回目の操作で取り出された2個の球がともに赤球である確率を求めよ．
(2)1回目の操作で取り出された2個の球と2回目の操作で取り出された2個の球がすべて赤球である確率を求めよ．
(3)初めて白球が取り出されるまでの球を取り出す操作の回数の期待値を求めよ．
国立 静岡大学 2011年 第4問Aの袋には赤球3個と白球2個が，Bの袋にも赤球3個と白球2個が入っている．A，Bの袋から，それぞれ任意に1個の球を同時に取り出す．取り出した球は元に戻さず，これを1回の操作とする．この操作を4回繰り返すとき，次の問いに
答えよ．
(1)1回目の操作で取り出された2個の球がともに赤球である確率を求めよ．
(2)1回目の操作で取り出された2個の球と2回目の操作で取り出された2個の球がすべて赤球である確率を求めよ．
(3)初めて白球が取り出されるまでの球を取り出す操作の回数の期待値を求めよ．
答えよ．
(1)1回目の操作で取り出された2個の球がともに赤球である確率を求めよ．
(2)1回目の操作で取り出された2個の球と2回目の操作で取り出された2個の球がすべて赤球である確率を求めよ．
(3)初めて白球が取り出されるまでの球を取り出す操作の回数の期待値を求めよ．
国立 信州大学 2011年 第2問座標平面上で$\overrightarrow{a}$を単位ベクトルとし，任意のベクトル$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を次のように定める．
\[ \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{x} +2( \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} ) \overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{y} +2(\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a} \]
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} \]
(2)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ | \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} | = | \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} | \]
\[ \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{x} +2( \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} ) \overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{y} +2(\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a} \]
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} \]
(2)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ | \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} | = | \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} | \]
国立 島根大学 2011年 第3問$2$つの放物線$C_0:y=-x^2$と$C_1:y=(x-1)^2$について，次の問いに答えよ．
(1)$C_0$上の点$(a,\ -a^2)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上に点$\mathrm{P}(p,\ (p-1)^2)$を任意にとるとき，点$\mathrm{P}$を通り$C_0$に接する直線は$2$本あることを示せ．
(3)(2)の$2$本の直線が$C_0$と接する点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$及び放物線$C_0$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S^2$が最小となる$p$の値と，そのときの$S^2$の値を求めよ．
(1)$C_0$上の点$(a,\ -a^2)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上に点$\mathrm{P}(p,\ (p-1)^2)$を任意にとるとき，点$\mathrm{P}$を通り$C_0$に接する直線は$2$本あることを示せ．
(3)(2)の$2$本の直線が$C_0$と接する点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$2$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$及び放物線$C_0$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S^2$が最小となる$p$の値と，そのときの$S^2$の値を求めよ．
国立 佐賀大学 2011年 第2問多項式$f(x)=x^4-x^3+cx^2-11x+d$について，$f(1+\sqrt{2})=0$が成り立つとする．ここで，$c,\ d$は有理数とする．次の問いに答えよ．
(1)$S=\{a+\sqrt{2}b \;|\; a,\ b \text{は有理数} \}$とする．集合$S$の元$z=a+\sqrt{2}b \ $(ただし，$a,\ b$は有理数)に対して，$j(z)=a-\sqrt{2}b$と定義する．$S$の任意の元$z,\ w$に対して，$j(z+w)=j(z)+j(w)$および$j(zw)=j(z)j(w)$が成り立つことを示せ．
(2)(1)を用いて，$S$の元$z$が$f(z)=0$を満たせば，$f(j(z))=0$が成り立つことを示せ．このことを用いて，$f(1-\sqrt{2})=0$を示せ．
(3)有理数$c,\ d$を求め，$f(x)$を有理数の範囲で因数分解せよ．
(1)$S=\{a+\sqrt{2}b \;|\; a,\ b \text{は有理数} \}$とする．集合$S$の元$z=a+\sqrt{2}b \ $(ただし，$a,\ b$は有理数)に対して，$j(z)=a-\sqrt{2}b$と定義する．$S$の任意の元$z,\ w$に対して，$j(z+w)=j(z)+j(w)$および$j(zw)=j(z)j(w)$が成り立つことを示せ．
(2)(1)を用いて，$S$の元$z$が$f(z)=0$を満たせば，$f(j(z))=0$が成り立つことを示せ．このことを用いて，$f(1-\sqrt{2})=0$を示せ．
(3)有理数$c,\ d$を求め，$f(x)$を有理数の範囲で因数分解せよ．
国立 千葉大学 2011年 第14問次の問いに答えよ．
(1)不等式
\[ \sqrt{x^2+y^2} \geqq x+y+a\sqrt{xy} \]
が任意の正の実数$x,\ y$に対して成立するような，最大の実数$a$の値を求めよ．
(2)$0$以上$1$以下の実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して
\[ abcd \leqq \frac{4}{27} \ \text{または} \ (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \leqq \frac{4}{27} \]
が成り立つことを証明せよ．
(1)不等式
\[ \sqrt{x^2+y^2} \geqq x+y+a\sqrt{xy} \]
が任意の正の実数$x,\ y$に対して成立するような，最大の実数$a$の値を求めよ．
(2)$0$以上$1$以下の実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して
\[ abcd \leqq \frac{4}{27} \ \text{または} \ (1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \leqq \frac{4}{27} \]
が成り立つことを証明せよ．