次の各問いに答えよ．

(1)3つの行列の積
\[ \left(
x \quad y
\right) \left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
a & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right) \]
の成分が任意の実数$x,\ y$に対し0以上となるような実数$a$の範囲を不等式で表すと[ア]となる．
(2)$\angle B$が直角の直角三角形ABCの2辺AB,\ BCの長さをそれぞれ$3,\ 1$とする．また，$0<x<1$を満たす$x$に対し線分BCを$1:x$に外分する点をDとする．いま，$\angle \text{CAD}=2 \angle\text{BAC}$が成り立っているとすると，$x=[イ]$であり，$\triangle$ACDの外接円の半径は[ウ]である．
(3)関数$f(x),\ g(x)$が
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(x) = xe^x + 2x \displaystyle\int_0^2|g(t)|\, dt - 1 \\
\\
g(x) = x^2 -x \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt
\end{array}
\right.
\]
を満たすとき，$\displaystyle\int_0^2 |g(t)|\, dt$の値は[エ]または[オ]である．求める過程も解答欄(3)に書きなさい．

$\mathrm{ABCDE}$を$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$4$個の正三角形を側面とする正四角錐とする．
（図は省略）

(1)$\triangle \mathrm{CDE}$の重心を$\mathrm{G}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AG}} = [セ]$となる．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}$が平面$\alpha$上の任意のベクトルと垂直なとき，$\overrightarrow{p}$は平面$\alpha$と垂直であるという．$\overrightarrow{p} = a\, \overrightarrow{\mathrm{AB}} + b\, \overrightarrow{\mathrm{AD}} + c\, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\ (a,\ b,\ c\text{は実数})$が$\triangle \mathrm{CDE}$を含む平面と垂直なとき，$a:b:c=[ソ]$である．よって，$|\overrightarrow{p}|=1$かつ$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} > 0$となるように$a,\ b,\ c$を定めると，$\overrightarrow{p} = [タ]$となる．
(3)正四角錐$\mathrm{ABCDE}$の$\triangle \mathrm{CDE}$に，各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{CDEF}$を貼り付ける．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=[チ]$となる．また，$\mathrm{H}$を辺$\mathrm{EC}$の中点とすると，$\overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}= [ツ]$であり，$\triangle \mathrm{AHF}$の面積は[テ]である．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$t \geqq 0$に対して
\[ x=1-e^{-3t},\quad y=8-3t-8e^{-3t} \]
で表されるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$t \to \infty$のとき$x$の極限値は
\[ \lim_{t \to \infty} x=[ア] \]
であり，$t=0$のとき
\[ \frac{dy}{dt}=[イウ] \]
となる．また，任意の$t$に対して

$\displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2}+[エ] \frac{dx}{dt}=[オ]$，

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2}+[カ] \frac{dy}{dt}=[キク]$

が成り立つ．
(2)$\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$となる$t$の値を$\alpha$とすると，$e^\alpha=[ケ]$となる．このときの$x$の値を$\beta$とすると，$\displaystyle \beta=\frac{[コ]}{[サ]}$であり，$y$の値は$[シ]-[ス] \alpha$である．
(3)$0 \leqq t \leqq \alpha$に対して点$\mathrm{P}$の描く曲線と，直線$x=\beta$および$x$軸で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タチ]}+\frac{[ツ]}{[テ]} \alpha$となる．

空間内に，同じ平面上にない$4$つの点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$の重心をそれぞれ$\mathrm{G}$，$\mathrm{G}^\prime$とし，線分$\mathrm{OC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$t$は$0<t<1$なる定数である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．以下の$[$1$]$から$[$10$]$に答えなさい．

このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$1$] \overrightarrow{a}+[$2$] \overrightarrow{b}+[$3$] \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{b}+[$6$] \overrightarrow{c}$である．また線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$が交わるとき$t=[$7$]$であり，線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$の交点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{PQ}$を$[$8$]:[$9$]$に内分する．さらに，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{2}{5}$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{15}$で，線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{OP}$が直交するならば，$|\overrightarrow{c}|=[$10$]$である．
なお，この空間の任意のベクトル$\overrightarrow{m}$は，実数$u,\ v,\ w$を用いて，
\[ \overrightarrow{m}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}+w \overrightarrow{c} \]
の形に表すことができ，しかも，表し方はただ$1$通りである．

座標平面上の直線$y=2x+1$を直線$\ell$とし，直線$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．第$1$象限内における直線$\ell$上の任意の点を中心とし$\mathrm{A}$を通る円$\mathrm{O}$を考える．直線$\ell$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なるもう一方の交点を$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)直線$\mathrm{BC}$は$y$軸に平行であることを証明せよ．
(3)円$\mathrm{O}$が$x$軸と接するとき，接点の$x$座標を求めよ．

$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$とおく．平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{w}=(x,\ y)$を$\overrightarrow{w}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{b}$と表すとき，次の問いに答えよ．

(1)$k,\ l$を$x,\ y$で表せ．
(2)$(1)$の$k,\ l$に対して，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{U}(k \overrightarrow{a})$へ移す変換を$f$，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{V}(l \overrightarrow{b})$へ移す変換を$g$とするとき，$2$つの変換$f,\ g$を表す行列$P,\ Q$を求めよ．
(3)行列$PQ$，$QP$，$P^2$，$Q^2$を求めよ．
(4)行列$R$が$R=sP+tQ$と表されるとき，自然数$n$に対して$R^n$を類推し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．ただし，$s,\ t$は実数とする．

$xy$平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{C}(\sqrt{3},\ -1)$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．

$n$を$3$以上の整数とし，$n$個の整数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は以下の$3$条件を満たすとする．

条件$(ⅰ)$：$a_1 \geqq 2$
条件$(ⅱ)$：$a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \geqq a_n$
条件$(ⅲ)$：$1 \leqq i<j \leqq n$を満たす任意の整数$i,\ j$に対して，不等式
\[ a_i+a_j>0 \]
が成り立つ．

このとき，不等式
\[ \sum_{i=1}^n a_i \geqq n \]
が成り立つことを証明せよ．また，この不等式において等号が成り立つ場合の$n$の値，および$n$個の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n)$をすべて求めよ．

整数$m$が与えられたとき，$x$に関する整数係数の$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$が関係式
\[ f(x) \equiv g(x) \pmod m \]
を満たすとは，等式$f(x)-g(x)=mh(x)$を満たすような整数係数の整式$h(x)$が存在することである．

(1)$f(x),\ g(x),\ F(x),\ G(x)$を整数係数の整式とする．もし，ある整数$m$について関係式$f(x) \equiv g(x) \pmod m$，かつ$F(x) \equiv G(x) \pmod m$が満たされるならば，関係式$f(x)+F(x) \equiv g(x)+G(x) \pmod m$，かつ$f(x)F(x) \equiv g(x)G(x) \pmod m$が満たされることを証明せよ．
(2)正整数$p (>1)$を素数とする．$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数$\comb{p}{i}$は$p$の倍数であることを証明せよ．
(3)正整数$p (>1)$を素数とする．任意の正整数$n$について，関係式
\[ (1+x)^{p^n} \equiv 1+x^{p^n} \pmod p \]
が満たされることを証明せよ．
(4)正整数$p (>1)$を素数とし，$n$を$2$以上の正整数とする．$n-1$個の二項係数$\comb{n}{i} (1 \leqq i \leqq n-1)$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は，整数$n$が素数$p$の正べきである（すなわち，適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる）ことを証明せよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に適する数値，式を記せ．

(1)$1$次不等式$8 |x-1|<3x+4$を満たす$x$の範囲は，$[ア]<x<[イ]$である．
(2)放物線$y=3x^2$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動した後に，$x$軸に関して対称移動したところ，$y=-3x^2+18x-25$となった．このとき，$p=[ウ]$，$q=[エ]$である．
(3)$2$次不等式$x^2+2(a+2)x+2a^2+a-6>0$が任意の実数$x$に対して成り立つような定数$a$の値の範囲は，$a<[オ]$，$[カ]<a$である．
(4)$8 \cos^2 \theta-2 \sin \theta-5=0 (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を満たす$\theta$は，$[キ]$と$[ク]$である．
(5)$9$冊の異なる本を$4$冊，$3$冊，$2$冊の$3$組に分ける方法は$[ケ]$通りある．また，$3$冊ずつ$3$組に分ける方法は$[コ]$通りある．