「任意」について
タグ「任意」の検索結果
（6ページ目：全118問中51問～60問を表示）
公立 福岡女子大学 2013年 第2問$m>0$，$n>0$とする．座標平面の$x$軸上に原点$\mathrm{O}$をはさんで左側に点$\mathrm{B}$，右側に点$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{BC}$の長さを$c$とする．ただし，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$は共に点$\mathrm{O}$と異なるものとする．以下の問に答えなさい．
(1)原点$\mathrm{O}$が線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分するとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$x$座標を$m,\ n,\ c$を用いて表しなさい．
(2)座標平面上の任意の点$\mathrm{A}(a,\ b)$は，次の関係式を満たすことを示しなさい．
\[ \frac{n}{m+n} \mathrm{AB}^2+\frac{m}{m+n} \mathrm{AC}^2=\mathrm{AO}^2+\frac{n}{m} \mathrm{BO}^2 \]
(1)原点$\mathrm{O}$が線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分するとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$x$座標を$m,\ n,\ c$を用いて表しなさい．
(2)座標平面上の任意の点$\mathrm{A}(a,\ b)$は，次の関係式を満たすことを示しなさい．
\[ \frac{n}{m+n} \mathrm{AB}^2+\frac{m}{m+n} \mathrm{AC}^2=\mathrm{AO}^2+\frac{n}{m} \mathrm{BO}^2 \]
国立 東京工業大学 2012年 第5問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で定まる$1$次変換を$f$とする．原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と異なる任意の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}^\prime}{\mathrm{OP}} = \frac{\mathrm{OQ}^\prime}{\mathrm{OQ}}$が成り立つ．ただし，$\mathrm{P}^\prime,\ \mathrm{Q}^\prime$はそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$f$による像を表す．
(1)$a^2 +c^2 = b^2 +d^2$を示せ．
(2)$1$次変換$f$により，点$(1,\ \sqrt{3})$が点$(-4,\ 0)$に移るとき，$A$を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で定まる$1$次変換を$f$とする．原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と異なる任意の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}^\prime}{\mathrm{OP}} = \frac{\mathrm{OQ}^\prime}{\mathrm{OQ}}$が成り立つ．ただし，$\mathrm{P}^\prime,\ \mathrm{Q}^\prime$はそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$f$による像を表す．
(1)$a^2 +c^2 = b^2 +d^2$を示せ．
(2)$1$次変換$f$により，点$(1,\ \sqrt{3})$が点$(-4,\ 0)$に移るとき，$A$を求めよ．
国立 高知大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
国立 高知大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．
国立 高知大学 2012年 第3問$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を負でない実数を成分とする行列とし，$C$を原点を中心とする半径5の円とする．円$C$上の任意の点$(x,\ y)$に対して$\biggl( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr)$で与えられる$X,\ Y$は常に$9X^2-16Y^2=0$をみたしているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$A \biggl( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \biggr)$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$c=0$のとき，$b$を$d$で表せ．
(3)$A \biggl( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \biggr)$となる$A$を1つ求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を負でない実数を成分とする行列とし，$C$を原点を中心とする半径5の円とする．円$C$上の任意の点$(x,\ y)$に対して$\biggl( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr)$で与えられる$X,\ Y$は常に$9X^2-16Y^2=0$をみたしているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$A \biggl( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \biggr)$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$c=0$のとき，$b$を$d$で表せ．
(3)$A \biggl( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
4 \\
3
\end{array} \biggr)$となる$A$を1つ求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第5問次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)上図$\mathrm{I}$において，点$\mathrm{O}$を中心とする円の半径を$R$とする．この円の弦$\mathrm{XY}$上の任意の点を$\mathrm{P}$とするとき，等式
\[ \mathrm{OP}^2=R^2-\mathrm{XP} \cdot \mathrm{YP} \]
が成り立つことを示せ．
(2)上図$\mathrm{II}$の$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，内心を$\mathrm{I}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円，内接円の半径をそれぞれ$R$，$r$とする．また，直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{D}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．
(i) $\mathrm{DB}=\mathrm{DI}$であることを示せ．
(ii) $\mathrm{AI} \cdot \mathrm{DI}=2Rr$であることを示せ．
(iii) $\mathrm{OI}^2=R^2-2Rr$であることを示せ．
（図は省略）
(1)上図$\mathrm{I}$において，点$\mathrm{O}$を中心とする円の半径を$R$とする．この円の弦$\mathrm{XY}$上の任意の点を$\mathrm{P}$とするとき，等式
\[ \mathrm{OP}^2=R^2-\mathrm{XP} \cdot \mathrm{YP} \]
が成り立つことを示せ．
(2)上図$\mathrm{II}$の$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，内心を$\mathrm{I}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円，内接円の半径をそれぞれ$R$，$r$とする．また，直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{D}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$に答えよ．
(i) $\mathrm{DB}=\mathrm{DI}$であることを示せ．
(ii) $\mathrm{AI} \cdot \mathrm{DI}=2Rr$であることを示せ．
(iii) $\mathrm{OI}^2=R^2-2Rr$であることを示せ．
国立 旭川医科大学 2012年 第4問曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$をとり，$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える．次の問いに答えよ．
(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]
(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]
国立 帯広畜産大学 2012年 第2問座標平面上の2点A$(6,\ 0)$，B$(-2,\ 4)$を結ぶ線分AB上を点Tが移動する．原点Oと点Tを頂点とし，2辺がそれぞれ$x$軸と$y$軸上にある長方形の面積を$S$とする．また，点Tの座標を$(x,\ f(x))$とし，$S$を$x$の関数として$S(x)$と表す．次の各問に解答しなさい．
(1)$f(x)$と$S(x)$を$x$で表しなさい．さらに，区間$-2 \leqq x \leqq 6$における$y=S(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(2)直線$x=-2$と曲線$y=S(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(3)区間$-2 \leqq x \leqq 4$における任意の$x$の値について，区間$x \leqq t \leqq x+2$における関数$S(t)$の最大値を$x$の関数として$M(x)$と定義する．関数$M(x)$を$x$で表し，さらに$y=M(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(1)$f(x)$と$S(x)$を$x$で表しなさい．さらに，区間$-2 \leqq x \leqq 6$における$y=S(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(2)直線$x=-2$と曲線$y=S(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(3)区間$-2 \leqq x \leqq 4$における任意の$x$の値について，区間$x \leqq t \leqq x+2$における関数$S(t)$の最大値を$x$の関数として$M(x)$と定義する．関数$M(x)$を$x$で表し，さらに$y=M(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
国立 滋賀医科大学 2012年 第4問赤色，青色，黄色の箱を各一箱，赤色，青色，黄色の球を各一個用意して，各球を球と同じ色の箱に入れる．この状態からはじめて，次の操作を$n$回（$n \geqq 1$）行う． \\
（操作） \ 三つの箱から二つの箱を任意に選び，その二つの箱の中の球を交換する．
(1)赤球の球が赤色の箱に入っている確率を求めよ．
(2)箱とその中の球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ．
(3)赤色の球が赤色の箱に入っている事象と，青色の球が青色の箱に入っている事象は，互いに独立かどうか，理由を付けて答えよ．
（操作） \ 三つの箱から二つの箱を任意に選び，その二つの箱の中の球を交換する．
(1)赤球の球が赤色の箱に入っている確率を求めよ．
(2)箱とその中の球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ．
(3)赤色の球が赤色の箱に入っている事象と，青色の球が青色の箱に入っている事象は，互いに独立かどうか，理由を付けて答えよ．
国立 大阪教育大学 2012年 第4問$A$を実数を成分とする行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
とし，任意の実数$x$に対して，行列$(xE-A)$を考える．ただし，$E$は$2 \times 2$の単位行列とする．相異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して，行列$(\alpha E-A)$，$(\beta E-A)$は逆行列を持たないとき，次の問に答えよ．
(1)$\alpha+\beta=a+d,\ \alpha\beta=ad-bc$であることを示せ．また，$x \neq \alpha,\ x \neq \beta$のとき，$(xE-A)$は逆行列を持つことを示せ．
(2)$x \neq \alpha,\ x \neq \beta$のとき，$(xE-A)$の逆行列の$(i,\ j)$成分を
\[ a_{ij}(x),\quad (i=1,\ 2 \;;\; j=1,\ 2) \]
と表し，
\[ b_{ij}=\lim_{x \to \alpha}x^2(x-\alpha)a_{ij}(x)+\lim_{x \to \beta}x^2(x-\beta)a_{ij}(x) \]
とする．このとき，行列$\left( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \right)$を$A$を用いて表せ．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
とし，任意の実数$x$に対して，行列$(xE-A)$を考える．ただし，$E$は$2 \times 2$の単位行列とする．相異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して，行列$(\alpha E-A)$，$(\beta E-A)$は逆行列を持たないとき，次の問に答えよ．
(1)$\alpha+\beta=a+d,\ \alpha\beta=ad-bc$であることを示せ．また，$x \neq \alpha,\ x \neq \beta$のとき，$(xE-A)$は逆行列を持つことを示せ．
(2)$x \neq \alpha,\ x \neq \beta$のとき，$(xE-A)$の逆行列の$(i,\ j)$成分を
\[ a_{ij}(x),\quad (i=1,\ 2 \;;\; j=1,\ 2) \]
と表し，
\[ b_{ij}=\lim_{x \to \alpha}x^2(x-\alpha)a_{ij}(x)+\lim_{x \to \beta}x^2(x-\beta)a_{ij}(x) \]
とする．このとき，行列$\left( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \right)$を$A$を用いて表せ．