行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である


(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．

行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である


(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)任意の$x$の$1$次関数$f(x)$に対して$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \, dx=Af(0)+Bf \left( \frac{\pi}{2} \right)$が常に成り立つような定数$A,\ B$を求めると，$(A,\ B)=[　]$である．
(2)任意の$x$の$2$次関数$f(x)$に対して$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=Af(0)+Bf \left( \frac{1}{2} \right)+Cf(1)$が常に成り立つような定数$A,\ B,\ C$を求めると，$(A,\ B,\ C)=[　]$である．

次の文中の$[ア]$～$[ホ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

放物線$y=-x^2+1$を$C_1$，また$y=(x-t)^2+kt+1$を$C_2$とする．ここで$k>0$とし，$t$は任意の実数値をとるものとする．$t$の値が変化するに従い，$C_2$の頂点の軌跡はある直線になる．この直線を$L$とする．

(1)$k=1$の場合を考える．このとき，直線$L$の方程式は，$y=[ア]x+[イ]$である．また$C_1$および$L$によって囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$\displaystyle k=\frac{1}{2}$の場合を考える．$C_1$と$C_2$がただ$1$つの点で接する場合，接点の座標は
\[ (x,\ y)=([オ],\ [カ]) \]
および
\[ (x,\ y)=\left( \frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right) \]
である．
$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点をもつのは，$[サ]<t<[シ]$のときである．このとき，それらの$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすれば，
\[ \alpha+\beta=[ス]t+[セ],\quad \alpha\beta=\frac{[ソ]}{[タ]}t^2+\frac{[チ]}{[ツ]}t+[テ] \]
である．また，$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積$S(t)$は，
\[ S(t)=\frac{1}{[ト]} ([ナ]t^2+[ニ]t+[ヌ])^p,\quad \text{ただし} p=\frac{[ネ]}{[ノ]} \]
である．この面積は$\displaystyle t=\frac{[ハ]}{[ヒ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ][ホ]}$をとる．

座標平面上の点$(x,\ y)$に対し，
\[ y=2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1 \cdots\cdots① \]
が成立している．

(1)$①$の定義域は$[ア] \leqq x \leqq [イ]$，値域は$[ウ] \leqq y \leqq [エ]$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$([オ],\ [カ] \pm \sqrt{[キ]})$にとると，$①$のグラフ上の任意の点$\mathrm{P}$に対し，常に$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=[ク]$が成り立つ．
(3)直線$y=x+k$が$①$のグラフと共有点を持つような定数$k$の範囲は
\[ [ケコ] \leqq k \leqq [サシ]+\sqrt{[ス]} \]
である．
(4)不等式$x-1 \leqq 2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1$の解は
\[ [セ] \leqq x \leqq [ソ]+\frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]} \]
である．

円$(x-3)^2+(y-3)^2=9$と，直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$の$2$つの交点と円上の任意の点によりできる三角形の重心の軌跡を求めなさい．

$m>0$，$n>0$とする．座標平面の$x$軸上に原点$\mathrm{O}$をはさんで左側に点$\mathrm{B}$，右側に点$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{BC}$の長さを$c$とする．ただし，点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$は共に点$\mathrm{O}$と異なるものとする．以下の問に答えなさい．

(1)原点$\mathrm{O}$が線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分するとき，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$x$座標を$m,\ n,\ c$を用いて表しなさい．
(2)座標平面上の任意の点$\mathrm{A}(a,\ b)$は，次の関係式を満たすことを示しなさい．
\[ \frac{n}{m+n} \mathrm{AB}^2+\frac{m}{m+n} \mathrm{AC}^2=\mathrm{AO}^2+\frac{n}{m} \mathrm{BO}^2 \]

$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(-b,\ a)$，$\mathrm{C}(a^2-b^2,\ 4ab)$を考える．ただし，$a,\ b$はそれぞれ$a>0$，$b>0$，$a+b=1$を満たす任意の実数である．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$が条件を満たしながら動くとき，点$\mathrm{C}$が描く図形を図で示せ．
(2)$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とおくとき，$\theta$を最小にする$a$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を最大にする$a$の値を求めよ．

逆行列をもつ行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$によって表される$1$次変換を考える．以下の問いに答えよ．

(1)この変換によって$xy$平面上の任意の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$および$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$がそれぞれ$\mathrm{P}^\prime ({x_1}^\prime,\ {y_1}^\prime)$および$\mathrm{Q}^\prime ({x_2}^\prime,\ {y_2}^\prime)$に移されるとき，$2$点間の距離が変換によって変化しない，つまり，$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}|^2$であるための必要十分条件は，
\[ A^\mathrm{T}A=E \qquad \cdots\cdots (*) \]
であることを示せ．ただし，$A^\mathrm{T}$は$A$の行と列を入れ替えた行列要素をもつ行列，すなわち，
\[ A^\mathrm{T}=\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) \]
である．また，$E$は単位行列である．
(2)原点のまわりの回転移動および$x$軸に関する対称移動の$1$次変換を，それぞれ，$f$および$g$とする．これらの$1$次変換を表す行列は，それぞれ，上の条件$(*)$を満たすことを確かめよ．
(3)$(2)$で考えた$1$次変換$f$および$g$を表す行列をそれぞれ$F$および$G$とし，$A=FGF^{-1}$で定義される行列$A$によって表される$1$次変換を考える．この変換によって直線$y=mx$上の任意の点がそれ自身に移されるとき，$A$を実数$m$を用いて表せ．ただし，$F^{-1}$は$F$の逆行列を表す．
(4)$(1)$で考えた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$の座標を用いて，$S=x_1y_2-y_1x_2$および$S^{\prime}={x_1}^\prime {y_2}^\prime-{y_1}^\prime {x_2}^\prime$を定義する．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$への変換を表す行列が$(3)$で求めた$A$で与えられるとき，$S$と$S^\prime$の関係式を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする．$1$次変換とは，座標平面上の任意の点$(x,\ y)$を同じ平面上の点$(X,\ Y)$に移す変換で，その変換の規則が$\left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$と表せるものである．このとき，行列$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$を$1$次変換を表す行列という．次の変換が，$1$次変換であるならばその$1$次変換を表す行列を求め，$1$次変換でないならばその理由を述べよ．

(1)座標平面上の任意の点をそれ自身に移す変換
(2)座標平面上の任意の点を直線$y=-x$に関して対称な点に移す変換
(3)座標平面上の任意の点を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$4$だけ移動する変換