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国立 岐阜大学 2010年 第4問次の設問(\,I\,)と(\,II\,)に答えよ．
\mon[(\,I\,)] $0< \theta < \pi$かつ$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$とする．$\tan^2 \theta>\sin \theta$を満たす$\sin \theta$の値の範囲を求めよ．
\mon[(\,II\,)] $a,\ b,\ c,\ R,\ \beta$を$a>0,\ b>0,\ c>1,\ R>0,\ 0 \leqq \beta<2\pi$を満たす実数とする．また，任意の実数$\theta$に対して，次の等式が成立しているとする．
\[ \log_c \frac{a^{\sin \theta}}{b^{\cos \theta}}=R \sin (\theta+\beta) \]
(1)$a,\ b,\ c$を用いて，$R,\ \sin \beta,\ \cos \beta$を表せ．
(2)$a=c,\ b=c^{\sqrt{3}}$が成り立つとき，$\beta$の値を求めよ．
\mon[(\,I\,)] $0< \theta < \pi$かつ$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$とする．$\tan^2 \theta>\sin \theta$を満たす$\sin \theta$の値の範囲を求めよ．
\mon[(\,II\,)] $a,\ b,\ c,\ R,\ \beta$を$a>0,\ b>0,\ c>1,\ R>0,\ 0 \leqq \beta<2\pi$を満たす実数とする．また，任意の実数$\theta$に対して，次の等式が成立しているとする．
\[ \log_c \frac{a^{\sin \theta}}{b^{\cos \theta}}=R \sin (\theta+\beta) \]
(1)$a,\ b,\ c$を用いて，$R,\ \sin \beta,\ \cos \beta$を表せ．
(2)$a=c,\ b=c^{\sqrt{3}}$が成り立つとき，$\beta$の値を求めよ．
国立 岐阜大学 2010年 第1問$b$と$d$で実数の定数を表す．次の条件$(*)$を考える．
\[ (*) \quad \text{すべての正の実数}x \text{に対して} \frac{x+b}{x^3+1}< \frac{x+2b+d}{x^3+2} \text{である．} \]
以下の問に答えよ．
(1)$b+d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)$d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)$d$を任意の正の実数とする．$(*)$が成立するための必要十分条件として，$b$が満たすべき範囲を$d$を用いて表せ．
\[ (*) \quad \text{すべての正の実数}x \text{に対して} \frac{x+b}{x^3+1}< \frac{x+2b+d}{x^3+2} \text{である．} \]
以下の問に答えよ．
(1)$b+d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)$d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)$d$を任意の正の実数とする．$(*)$が成立するための必要十分条件として，$b$が満たすべき範囲を$d$を用いて表せ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$上の点$(a,\ b)$を接点とする接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(3)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$上の点$(a,\ b)$を接点とする接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(3)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第2問$xy$平面上に2つの円
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
\begin{align}
& C_1:x^2+y^2=16 \nonumber \\
& C_2:(x-6)^2+y^2=1 \nonumber
\end{align}
がある．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の両方に接する接線の方程式をすべて求めよ．
(2)点Pを通る任意の直線が$C_1$または$C_2$の少なくとも一方と共有点を持つとする．このような点Pの存在する領域を図示せよ．
国立 新潟大学 2010年 第3問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -3 \\
2 & d
\end{array} \right)$は，ある実数$k$に対して等式$A^2=kA$を満たす．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(1)$k$と$d$の値を求めよ．
(2)実数$b$と$c$が等式
\[ (E+bA)(E+2A)=E+cA \]
を満たすとき，$c$を$b$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$が任意の自然数$n$に対して等式
\[ (E+2A)^n=E+a_nA \]
を満たすとき，$a_n$を$n$で表せ．
1 & -3 \\
2 & d
\end{array} \right)$は，ある実数$k$に対して等式$A^2=kA$を満たす．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(1)$k$と$d$の値を求めよ．
(2)実数$b$と$c$が等式
\[ (E+bA)(E+2A)=E+cA \]
を満たすとき，$c$を$b$で表せ．
(3)数列$\{a_n\}$が任意の自然数$n$に対して等式
\[ (E+2A)^n=E+a_nA \]
を満たすとき，$a_n$を$n$で表せ．
国立 室蘭工業大学 2010年 第5問$a,\ b,\ c,\ d$を実数とする．$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，2次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は$A^2=-E$を満たすとする．
(1)$a=0$のとき，$d,\ bc$の値を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで，$E+A$が逆行列をもつことを示せ．さらに，実数$p,\ q$を用いて$(E+A)^{-1}$を$pE+qA$の形で表すとき，$p,\ q$の値を求めよ．
(3)$a$を任意の実数とするとき，$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とし，2次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は$A^2=-E$を満たすとする．
(1)$a=0$のとき，$d,\ bc$の値を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで，$E+A$が逆行列をもつことを示せ．さらに，実数$p,\ q$を用いて$(E+A)^{-1}$を$pE+qA$の形で表すとき，$p,\ q$の値を求めよ．
(3)$a$を任意の実数とするとき，$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
国立 山口大学 2010年 第2問次の初項と漸化式で定まる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\begin{align}
\frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\
|f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber
\end{align}
(4)数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\begin{align}
\frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\
|f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber
\end{align}
(4)数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．
国立 帯広畜産大学 2010年 第1問自然数$n$に対して，$\{a_n\}$は初項$a$，一般項$a_n$の数列であり，$\{b_n\}$ \\
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
\img{3_2148_2010_1}{50}
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．
は初項$b$，一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点$\mathrm{P}_n(a_n,\ b_n)$， \\
点$\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},\ b_{n+1})$と点$\mathrm{Q}_n(a_{n+1},\ b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と \\
$\{b_n\}$によって与えられる．また，点$\mathrm{P}_n$と点$\mathrm{P}_{n+1}$を通る直線の傾 \\
き$g_n$と$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=cb_n,\ h_n=dg_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0$，任意の$n$について$a_{n+1}>a_n,\ h_n>0$と仮定する．
\img{3_2148_2010_1}{50}
(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．
(2)数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a,\ b,\ c,\ d$および$n$で表しなさい．
(3)$\displaystyle d=\frac{1}{2}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．
(4)$\displaystyle b=1,\ d=\frac{1}{2},\ 4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．
(5)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$と$\mathrm{Q}_1$の各点を用いて，$\alpha=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\beta=\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$，$\theta=\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_3$と定義する．$\displaystyle b=1,\ c=\frac{2}{3},\ d=\frac{1}{2}$のとき，$\tan \alpha,\ \tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．
私立 南山大学 2010年 第2問$t$を任意の実数として，放物線$C_1:y=x^2-2(3t+2)x+4(3t+5)$を考える．
(1)$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2)$t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．
(1)$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2)$t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．