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私立 慶應義塾大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$チームが試合を行う．第$1$試合に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．第$2$試合以降は，直前の試合に勝ったチームが残りの$1$チームと対戦することを繰り返す．最初に$2$連勝したチームを優勝とする．いずれのチームも試合に勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$であり，各試合に引き分けはないものとする．このとき，
(1)第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$][$43$]}$であり，第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$である．
(2)第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が優勝する確率は，それぞれ$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$，$\displaystyle \frac{[$51$]}{[$52$][$53$]}$である．
(3)$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち，かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと，$\displaystyle \frac{[$54$]}{[$55$]} \left\{ [$56$]-\left( \frac{[$57$]}{[$58$]} \right)^n \right\}$である．ただし，$n$は自然数とする．
(1)第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$][$43$]}$であり，第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$である．
(2)第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が優勝する確率は，それぞれ$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$，$\displaystyle \frac{[$51$]}{[$52$][$53$]}$である．
(3)$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち，かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと，$\displaystyle \frac{[$54$]}{[$55$]} \left\{ [$56$]-\left( \frac{[$57$]}{[$58$]} \right)^n \right\}$である．ただし，$n$は自然数とする．
公立 横浜市立大学 2016年 第2問$n$枚のカードの表（おもて）面に相異なる整数値が書かれている．ただし，どのような数値が書かれているのかはあらかじめわかっていない．
はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている．ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき，書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える．$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合，次にめくるカードがないのでゲームは終了である．
ゲームの勝敗は，最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち，そうでなければ負けとする．
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える：
はじめの$k$枚までは必ずめくり，その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする．$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら，ただちにめくるのをやめる．
戦略$S_k$にしたがった場合に，このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$P_{3,1}$を求めよ．
(2)$i$を$k+1$以上，$n$以下の整数とする．戦略$S_k$にしたがった場合に，ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ．
(3)$n$が十分に大きいとき，戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう．$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる．簡単にするため，$n=3p$の場合を考える．ただし，$p$は自然数である．このとき$k=p$として，極限値
\[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \]
を求めよ．
はじめにすべてのカードが裏返しでおかれている．ここから$1$枚ずつ好きなカードをめくっていき，書かれている数値が$n$枚のカードの中で最大だと思ったらめくるのをやめる$1$人ゲームを考える．$n$枚のカードをすべてめくり終えてしまった場合，次にめくるカードがないのでゲームは終了である．
ゲームの勝敗は，最後にめくったカードに書かれていた数値が$n$枚のカードの中で最大であれば勝ち，そうでなければ負けとする．
$n$未満の自然数$k$について以下の戦略$S_k$を考える：
はじめの$k$枚までは必ずめくり，その$k$枚に書かれていた数値のうち最大のものを$M$とする．$k+1$枚目以降で$M$より大きな数が書かれたカードをめくったら，ただちにめくるのをやめる．
戦略$S_k$にしたがった場合に，このゲームに勝つ確率を$P_{n,k}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$P_{3,1}$を求めよ．
(2)$i$を$k+1$以上，$n$以下の整数とする．戦略$S_k$にしたがった場合に，ちょうど$i$枚のカードをめくって勝つ確率を求めよ．
(3)$n$が十分に大きいとき，戦略$S_k$を使ってどのくらい勝つことが出来るのかを考えてみよう．$n$に対してどのくらいの$k$を用いるかによって勝てる確率は変わる．簡単にするため，$n=3p$の場合を考える．ただし，$p$は自然数である．このとき$k=p$として，極限値
\[ \lim_{p \to \infty} P_{n,k} \]
を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第2問コインを$n$回続けて投げ，$1$回投げるごとに次の規則に従って得点を得るゲームをする．
\begin{itemize}
コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする．
\end{itemize}
例えばコインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．
コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．
(2)$n \leqq m \leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．
\begin{itemize}
コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする．
\end{itemize}
例えばコインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．
コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．
(2)$n \leqq m \leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．
国立 千葉大学 2015年 第2問コインを$n$回続けて投げ，$1$回投げるごとに次の規則に従って得点を得るゲームをする．
\begin{itemize}
コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする．
\end{itemize}
例えばコインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．
コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．
(2)$n \leqq m \leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．
\begin{itemize}
コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする．
\end{itemize}
例えばコインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．
コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．
(2)$n \leqq m \leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．
国立 千葉大学 2015年 第3問コインを$n$回続けて投げ，$1$回投げるごとに次の規則に従って得点を得るゲームをする．
\begin{itemize}
コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする．
\end{itemize}
例えばコインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．
コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．
(2)$n \leqq m \leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．
\begin{itemize}
コイン投げの第$1$回目には，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と異なる面が出たら，$1$点を得点とする．
コイン投げの第$2$回目以降において，ひとつ前の回と同じ面が出たら，$2$点を得点とする．
\end{itemize}
例えばコインを$3$回投げて（裏，表，裏）の順に出たときの得点は，$1+1+1=3$より$3$点となる．また（裏，裏，表）のときの得点は，$1+2+1=4$より$4$点となる．
コインの表と裏が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，このゲームで得られる得点が$m$となる確率を$P_{n,m}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 2$が与えられたとき，$P_{n,2n-1}$と$P_{n,2n-2}$を求めよ．
(2)$n \leqq m \leqq 2n-1$について，$P_{n,m}$を$n$と$m$の式で表せ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第2問硬貨を$1$枚投げて表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点，裏が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与えることを繰り返す．硬貨を$5$回投げ終わった時点で$\mathrm{A}$の得点は$3$点，$\mathrm{B}$の得点は$2$点であった．なお，硬貨は表裏が等しい確率で出るものとする．
(1)$6$回目以降，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$5$点を取るまでの各回の得点の与え方を樹形図で表すと，その場合の数は$[$11$][$12$]$通りであることがわかる．そして，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]}$である．
(2)$6$回目以降の各回の得点の与え方を次のように変更する．$\mathrm{A}$は$1,\ 3,\ 5$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋から，$\mathrm{B}$は$2,\ 4$と書かれたカードが$1$枚ずつ入った袋から，中を見ずに$1$枚取り出し，大きい数字の書かれたカードを取り出した方に$1$点を与える．このとき，各回ごとに$\mathrm{A}$が得点する確率は$\displaystyle \frac{[$17$]}{[$18$]}$であり，$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]}$である．
(3)$6$回目以降について，$\mathrm{A}$の袋は$(2)$と同じとし，$\mathrm{B}$の袋には$6$と書かれたカードを$1$枚追加して，$(2)$と同様に各回の得点の与え方を定める．このとき$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}$である．
(1)$6$回目以降，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$5$点を取るまでの各回の得点の与え方を樹形図で表すと，その場合の数は$[$11$][$12$]$通りであることがわかる．そして，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]}$である．
(2)$6$回目以降の各回の得点の与え方を次のように変更する．$\mathrm{A}$は$1,\ 3,\ 5$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋から，$\mathrm{B}$は$2,\ 4$と書かれたカードが$1$枚ずつ入った袋から，中を見ずに$1$枚取り出し，大きい数字の書かれたカードを取り出した方に$1$点を与える．このとき，各回ごとに$\mathrm{A}$が得点する確率は$\displaystyle \frac{[$17$]}{[$18$]}$であり，$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]}$である．
(3)$6$回目以降について，$\mathrm{A}$の袋は$(2)$と同じとし，$\mathrm{B}$の袋には$6$と書かれたカードを$1$枚追加して，$(2)$と同様に各回の得点の与え方を定める．このとき$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}$である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問銀行口座（以降，口座）から$\mathrm{IC}$カードに金額を移転し，そのカードを用いて支払いをおこなうものとする．口座からカードに移転した金額を超過してさらに支払う必要が生じた場合，その分は銀行が自動的に立て替えて払うものとする．
このとき，口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分，および銀行からの借入れに伴う利払い，そして口座からカードへの移転に伴う手数料，それらの合計$Z$を最小にする問題を考える．適当な仮定のもと，$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として，つぎのように表わされる．
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり，$A$は定数である．
(1)$x$を固定し，$Z$を$y$の関数と考えれば，その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである．
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し，$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる．
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である．
このとき，口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分，および銀行からの借入れに伴う利払い，そして口座からカードへの移転に伴う手数料，それらの合計$Z$を最小にする問題を考える．適当な仮定のもと，$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として，つぎのように表わされる．
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり，$A$は定数である．
(1)$x$を固定し，$Z$を$y$の関数と考えれば，その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである．
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し，$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる．
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である．
私立 東京理科大学 2015年 第1問次の$[ア]$～$[ヒ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字，および，$[あ]$にあてはまる$+$か$-$の符号を入れよ．
$p$を$3$で割り切れない整数とする．このとき，整数$a$と$b$に対し，
「$pa-b$が$3$の倍数ならば，$a-pb$も$3$の倍数になる．」
がわかる．これを認めて，$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下のように定める．$a_1=1$とし，$b_1$は$0$，$1$，$2$いずれかの数で$pa_1-b_1$が$3$の倍数になるようなものとし，$n=2,\ 3,\ \cdots$に対し，$a_n,\ b_n$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\displaystyle a_n=\frac{1}{3}(a_{n-1}-pb_{n-1})$
$b_n$は，$0,\ 1,\ 2$いずれかの数で$pa_n-b_n$が$3$の倍数となるようなものとする．
\end{itemize}
このように定められた$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$について，以下の各問いに答えよ．
(1)$p=8$のとき，$b_1=[ア]$，$a_2=-[イ]$，$b_2=[ウ]$，$a_3=-[エ]$，$b_4=[オ]$，$a_4=-[カ]$，$b_4=[キ]$，$a_5=-[ク]$，$b_5=[ケ]$，$a_6=-[コ]$となる．
(2)$p=-13$のとき，$a_{190}=[サ]$，$b_{190}=[シ]$，$a_{191}=[ス]$，$b_{191}=[セ]$，$a_{192}=[ソ]$，$b_{192}=[タ]$となる．
(3)$p=-13$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{200} a_k=[チ][ツ][テ]$となる．
(4)$p=-13$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{30} k^2b_k=\kakkofour{ト}{ナ}{ニ}{ヌ}$となる．
(5)$p=3^{11}+1$のとき，数列$\{b_n\}$の第$2$項目以降で$0$でない値が初めて出てくるのは，第$[ネ][ノ]$項目であり，その項の値は$[ハ]$である．
(6)数列$\{b_n\}$のすべての項が$1$となるような整数$p$で絶対値が最小となるものは，$[あ] [ヒ]$である．$0$のときは，$+0$で表すものとする．
$p$を$3$で割り切れない整数とする．このとき，整数$a$と$b$に対し，
「$pa-b$が$3$の倍数ならば，$a-pb$も$3$の倍数になる．」
がわかる．これを認めて，$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下のように定める．$a_1=1$とし，$b_1$は$0$，$1$，$2$いずれかの数で$pa_1-b_1$が$3$の倍数になるようなものとし，$n=2,\ 3,\ \cdots$に対し，$a_n,\ b_n$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\displaystyle a_n=\frac{1}{3}(a_{n-1}-pb_{n-1})$
$b_n$は，$0,\ 1,\ 2$いずれかの数で$pa_n-b_n$が$3$の倍数となるようなものとする．
\end{itemize}
このように定められた$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$について，以下の各問いに答えよ．
(1)$p=8$のとき，$b_1=[ア]$，$a_2=-[イ]$，$b_2=[ウ]$，$a_3=-[エ]$，$b_4=[オ]$，$a_4=-[カ]$，$b_4=[キ]$，$a_5=-[ク]$，$b_5=[ケ]$，$a_6=-[コ]$となる．
(2)$p=-13$のとき，$a_{190}=[サ]$，$b_{190}=[シ]$，$a_{191}=[ス]$，$b_{191}=[セ]$，$a_{192}=[ソ]$，$b_{192}=[タ]$となる．
(3)$p=-13$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{200} a_k=[チ][ツ][テ]$となる．
(4)$p=-13$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{30} k^2b_k=\kakkofour{ト}{ナ}{ニ}{ヌ}$となる．
(5)$p=3^{11}+1$のとき，数列$\{b_n\}$の第$2$項目以降で$0$でない値が初めて出てくるのは，第$[ネ][ノ]$項目であり，その項の値は$[ハ]$である．
(6)数列$\{b_n\}$のすべての項が$1$となるような整数$p$で絶対値が最小となるものは，$[あ] [ヒ]$である．$0$のときは，$+0$で表すものとする．
私立 東京理科大学 2015年 第1問次の$[ ]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
(1)$\displaystyle f(x)=4x^4+8x^3+3x^2-2x+\frac{1}{4}$，$\displaystyle g(x)=4x^4-8x^3+3x^2+2x+\frac{1}{4}$で定められる関数に対して，
$f(x)$は$\displaystyle x=-\frac{[ア]}{[イ]}+\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}-\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{3}$をとり，
$g(x)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}-\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}-\frac{[テ]}{[ト]} \sqrt{3}$をとる．
(2)$a$を正の実数とし，座標平面上の$2$曲線$\displaystyle B_1:y={\left( \frac{a}{\pi} x \right)}^2$と$B_2:y=\sin x$の$0<x<\pi$における交点の$x$座標を$t$，$0 \leqq x \leqq t$において$2$曲線で囲まれた領域の面積を$S$とすると，
\[ S=[ナ]-\frac{[ニ]}{[ヌ]}t \sin t-[ネ] \cos t \]
である．
$a=2$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]} \pi$である．
$0<a \leqq 2$に対して$S$がとり得る値の範囲は
\[ [ヒ]-\frac{[フ]}{[ヘ]} \pi \leqq S<[ホ] \]
である．
(3)空調のある$1$号室，$2$号室，$3$号室は電力事情により，同時に$1$部屋しか空調の電源をオンにできない．最初は$1$号室の電源をオンにすることにし，それ以降は$1$時間ごとに大小の$2$つの公平なさいころをふって，どの部屋の電源をオンにするかを以下のように決める．
\begin{itemize}
大きい方のさいころの目が奇数ならば，小さい方の目にかかわらず同じ部屋の電源をオンにしたままとする．
大きい方のさいころの目が偶数ならば，残りの$2$つの部屋のどちらか一方の電源をオンにする．その際，小さい方のさいころの目が奇数ならば，番号の小さい部屋の電源，偶数ならば番号の大きい方の電源をオンにする．
\end{itemize}
自然数$n$に対して，$1$号室の電源を最初にオンにした時から$n$時間後に，$1$号室の空調の電源をオンにする確率を$a_n$，$2$号室の空調の電源をオンにする確率を$b_n$，$3$号室の空調の電源をオンにする確率を$c_n$とする．
(i) $\displaystyle a_1=\frac{[マ]}{[ミ]}$，$\displaystyle b_1=\frac{[ム]}{[メ]}$，$\displaystyle c_1=\frac{[モ]}{[ヤ]}$である．
すべての自然数$n$に対して以下が成り立つ．
(ii) $a_n+b_n+c_n=[ユ]$
(iii) $\displaystyle a_{n+1}=\frac{[ヨ]}{[ラ]}a_n+\frac{[リ]}{[ル]}b_n+\frac{[リ]}{[ル]}c_n$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle a_n=\frac{[レ]}{[ロ]} {\left( \frac{[ワ]}{[ヲ]} \right)}^n+\frac{[ン]}{[あ]}$
$\displaystyle b_n=-\frac{[い]}{[う]} {\left( \frac{[え]}{[お]} \right)}^n+\frac{[か]}{[き]}$
$\displaystyle c_n=-\frac{[く]}{[け]} {\left( \frac{[こ]}{[さ]} \right)}^n+\frac{[し]}{[す]}$
(1)$\displaystyle f(x)=4x^4+8x^3+3x^2-2x+\frac{1}{4}$，$\displaystyle g(x)=4x^4-8x^3+3x^2+2x+\frac{1}{4}$で定められる関数に対して，
$f(x)$は$\displaystyle x=-\frac{[ア]}{[イ]}+\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}-\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{3}$をとり，
$g(x)$は$\displaystyle x=\frac{[サ]}{[シ]}-\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{3}$において最小値$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}-\frac{[テ]}{[ト]} \sqrt{3}$をとる．
(2)$a$を正の実数とし，座標平面上の$2$曲線$\displaystyle B_1:y={\left( \frac{a}{\pi} x \right)}^2$と$B_2:y=\sin x$の$0<x<\pi$における交点の$x$座標を$t$，$0 \leqq x \leqq t$において$2$曲線で囲まれた領域の面積を$S$とすると，
\[ S=[ナ]-\frac{[ニ]}{[ヌ]}t \sin t-[ネ] \cos t \]
である．
$a=2$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]} \pi$である．
$0<a \leqq 2$に対して$S$がとり得る値の範囲は
\[ [ヒ]-\frac{[フ]}{[ヘ]} \pi \leqq S<[ホ] \]
である．
(3)空調のある$1$号室，$2$号室，$3$号室は電力事情により，同時に$1$部屋しか空調の電源をオンにできない．最初は$1$号室の電源をオンにすることにし，それ以降は$1$時間ごとに大小の$2$つの公平なさいころをふって，どの部屋の電源をオンにするかを以下のように決める．
\begin{itemize}
大きい方のさいころの目が奇数ならば，小さい方の目にかかわらず同じ部屋の電源をオンにしたままとする．
大きい方のさいころの目が偶数ならば，残りの$2$つの部屋のどちらか一方の電源をオンにする．その際，小さい方のさいころの目が奇数ならば，番号の小さい部屋の電源，偶数ならば番号の大きい方の電源をオンにする．
\end{itemize}
自然数$n$に対して，$1$号室の電源を最初にオンにした時から$n$時間後に，$1$号室の空調の電源をオンにする確率を$a_n$，$2$号室の空調の電源をオンにする確率を$b_n$，$3$号室の空調の電源をオンにする確率を$c_n$とする．
(i) $\displaystyle a_1=\frac{[マ]}{[ミ]}$，$\displaystyle b_1=\frac{[ム]}{[メ]}$，$\displaystyle c_1=\frac{[モ]}{[ヤ]}$である．
すべての自然数$n$に対して以下が成り立つ．
(ii) $a_n+b_n+c_n=[ユ]$
(iii) $\displaystyle a_{n+1}=\frac{[ヨ]}{[ラ]}a_n+\frac{[リ]}{[ル]}b_n+\frac{[リ]}{[ル]}c_n$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle a_n=\frac{[レ]}{[ロ]} {\left( \frac{[ワ]}{[ヲ]} \right)}^n+\frac{[ン]}{[あ]}$
$\displaystyle b_n=-\frac{[い]}{[う]} {\left( \frac{[え]}{[お]} \right)}^n+\frac{[か]}{[き]}$
$\displaystyle c_n=-\frac{[く]}{[け]} {\left( \frac{[こ]}{[さ]} \right)}^n+\frac{[し]}{[す]}$
国立 愛媛大学 2014年 第5問$n$は自然数，$p_0$，$p_1$，$\cdots$，$p_n$は$p_0>0$，$\cdots$，$p_n>0$かつ$p_0+p_1+\cdots+p_n=1$を満たす定数とする．ポイント$0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1,\ n$が，それぞれ$p_0,\ p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_{n-1},\ p_n$の確率で得られる試行$T$を考える．試行$T$を$1$回行って得られるポイントの期待値を$a$とし，$A=[a]+1$とする．ただし，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．競技者は，試行$T$を下記の各設問のルールに従って何回か行う．
(1)$k$を$1 \leqq k \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$2$回まで行う．
\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$k$以上であれば$2$回目の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$k$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$b_k$とする．$b_k$を求めよ．
(2)$(1)$の期待値$b_k$は$k$が$A$のとき最大となることを示せ．
(3)$m$を$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$3$回まで行う．
\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$m$以上であれば$2$回目以降の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$m$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．$2$回目のポイントが$A$以上であれば$3$回目の試行を行わない．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
\mon[$③$] $2$回目のポイントが$A$未満であれば$3$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目，$2$回目のポイントは無効とし，$3$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$c_m$とする．$c_m$を求めよ．
(4)$(3)$の期待値$c_m$は$m$が$B=[b_A]+1$のとき最大となり，$c_B \geqq b_A$であることを示せ．ただし，$b_A$は$(1)$で求めた期待値$b_k$の$k=A$のときの値である．
(5)$n=5$とし，試行$T$として，$5$枚の硬貨を同時に投げ，表の出た枚数をポイントとする試行を考える．また，$b_k$，$c_m$は上記で定義したものとする．
(i) $p_0$，$p_1$，$p_2$，$p_3$，$p_4$，$p_5$，$a$を求めよ．
(ii) $(1)$のように最大$2$回試行を行う場合，$b_k$の最大値を求めよ．
(iii) $(3)$のように最大$3$回試行を行う場合，$c_m$の最大値を求めよ．
(1)$k$を$1 \leqq k \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$2$回まで行う．
\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$k$以上であれば$2$回目の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$k$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$b_k$とする．$b_k$を求めよ．
(2)$(1)$の期待値$b_k$は$k$が$A$のとき最大となることを示せ．
(3)$m$を$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$3$回まで行う．
\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$m$以上であれば$2$回目以降の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$m$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．$2$回目のポイントが$A$以上であれば$3$回目の試行を行わない．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
\mon[$③$] $2$回目のポイントが$A$未満であれば$3$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目，$2$回目のポイントは無効とし，$3$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$c_m$とする．$c_m$を求めよ．
(4)$(3)$の期待値$c_m$は$m$が$B=[b_A]+1$のとき最大となり，$c_B \geqq b_A$であることを示せ．ただし，$b_A$は$(1)$で求めた期待値$b_k$の$k=A$のときの値である．
(5)$n=5$とし，試行$T$として，$5$枚の硬貨を同時に投げ，表の出た枚数をポイントとする試行を考える．また，$b_k$，$c_m$は上記で定義したものとする．
(i) $p_0$，$p_1$，$p_2$，$p_3$，$p_4$，$p_5$，$a$を求めよ．
(ii) $(1)$のように最大$2$回試行を行う場合，$b_k$の最大値を求めよ．
(iii) $(3)$のように最大$3$回試行を行う場合，$c_m$の最大値を求めよ．