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広島大学 国立 広島大学 2015年 第5問
$n$を自然数とする.$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$の$5$人が$1$個のボールをパスし続ける.最初に$\mathrm{A}$がボールを持っていて,$\mathrm{A}$は自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし,ボールを受けた人は,また自分以外の誰かに同じ確率でボールをパスし,以後同様にパスを続ける.$n$回パスしたとき,$\mathrm{B}$がボールを持っている確率を$p_n$とする.ここで,たとえば,$\mathrm{A} \to \mathrm{C} \to \mathrm{D} \to \mathrm{A} \to \mathrm{E}$の順にボールをパスすれば,$4$回パスしたと考える.次の問いに答えよ.

(1)$p_1,\ p_2,\ p_3,\ p_4$を求めよ.
(2)$p_n$を求めよ.
札幌医科大学 公立 札幌医科大学 2014年 第1問
三角形$\mathrm{ABC}$に内接する半径$R$の円がある.内接円と辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$との接点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$とする.また$\alpha=\angle \mathrm{A}$,$\beta=\angle \mathrm{B}$,$\gamma=\angle \mathrm{C}$とする.三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_1$,三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とする.

(1)$S_1$を$\displaystyle R,\ \tan \frac{\alpha}{2},\ \tan \frac{\beta}{2},\ \tan \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ.
(2)$S_2$を$\displaystyle R,\ \cos \frac{\alpha}{2},\ \cos \frac{\beta}{2},\ \cos \frac{\gamma}{2}$を用いて表せ.

以後$\displaystyle \gamma=\frac{\pi}{2}$とする.

(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を用いて表せ.
(4)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最大値を求めよ.
鳥取大学 国立 鳥取大学 2011年 第2問
下図において,北隅のAの文字から南隅のAの文字まで,南東または南西に文字をたどって最短で進むとき,経路上の文字を読むとABRACADABRAとなる.このとき,次の問いに答えよ.

(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後,「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか.
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか.
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか.
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか.

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(図は省略)
鳥取大学 国立 鳥取大学 2011年 第4問
下図において,北隅のAの文字から南隅のAの文字まで,南東または南西に文字をたどって最短で進むとき,経路上の文字を読むとABRACADABRAとなる.このとき,次の問いに答えよ.

(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後,「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか.
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか.
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか.
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか.

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(図は省略)
大阪教育大学 国立 大阪教育大学 2011年 第4問
次のようなゲームを考える.成功の確率が$p \ (0<p<1)$,失敗の確率が$q \ (=1-p)$であるような試行をAとBの2人が行い,先に成功した方を勝ちとする.なお,Aが勝つ確率がBが勝つ確率より大きいとき,ゲームはAに有利であるといい,Aが勝つ確率とBが勝つ確率が等しいとき,ゲームは公平であるという.このとき,次の問に答えよ.

(1)Aから始めて,以後交互に試行を行う.すなわち,ABABAB$\cdots$という順で試行を行う.このとき,$p$の値にかかわらずゲームはAに有利であることを示せ.
(2)Aから始めるが,Aが1回に対して,Bは2回試行を行えるとする.すなわち,ABBABB$\cdots$という順で試行を行う.$p$がどのような値のとき,ゲームは公平になるか.
(3)(2)において,ゲームが公平であるとき,$q$についての等式$q=q^2+q^4+q^6+\cdots$が成り立つことを示せ.
上智大学 私立 上智大学 2011年 第3問
$xyz$空間内の正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える.頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$はすべて原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$上にある.$\mathrm{A}$の座標は$(0,\ 0,\ 1)$であり,$\mathrm{B}$の$x$座標は正,$y$座標は$0$である.また,$\mathrm{C}$の$y$座標は$\mathrm{D}$の$y$座標より大きい.

(1)$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である.

(2)$\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]}$である.

(3)$\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする.線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$[ホ]$である.

以後,四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す.

(4)$\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である.

(5)$(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に,$\triangle \mathrm{ACD}$,$\triangle \mathrm{ABD}$,$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$,$V_\mathrm{R}$,$V_\mathrm{T}$を定める.四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$,$V_\mathrm{Q}$,$V_\mathrm{R}$,$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると,$V$の表面積は$[ム]$であり,$V$の体積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である.
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