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慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第4問
銀行口座(以降,口座)から$\mathrm{IC}$カードに金額を移転し,そのカードを用いて支払いをおこなうものとする.口座からカードに移転した金額を超過してさらに支払う必要が生じた場合,その分は銀行が自動的に立て替えて払うものとする.

このとき,口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分,および銀行からの借入れに伴う利払い,そして口座からカードへの移転に伴う手数料,それらの合計$Z$を最小にする問題を考える.適当な仮定のもと,$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として,つぎのように表わされる.
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり,$A$は定数である.

(1)$x$を固定し,$Z$を$y$の関数と考えれば,その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである.
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し,$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる.
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である.
奈良県立医科大学 公立 奈良県立医科大学 2014年 第7問
$x^3=1$の解のうち$1$でないものの$1$つを$\omega$とし,$y=(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)^3$を考える.$x_1$,$x_2$,$x_3$に$1$から$3$までの自然数を重複を許さないように代入するとき$y$が取り得る値は何通りあるか.
信州大学 国立 信州大学 2013年 第2問
\begin{align}
& \nonumber
\end{align}

\begin{screen}
自然数$a_1,\ a_2$が,
\[ a_1 \leqq a_2,\quad a_1+a_2=a_1a_2 (1) \]
を満たすとき,$a_1,\ a_2$を次のように求めることができる. \\ \\
{\bf 解法} \\
(1)の2式の両辺を$a_1a_2$で割ると
\[ \frac{1}{a_2} \leqq \frac{1}{a_1},\quad \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}=1 \]
を得る.よって,この2つの式を組み合わせて
\[ 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2} \leqq \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1}=\frac{2}{a_1} \]
を得る.これより$a_1 \leqq 2$である.$a_1=1$のとき,これを(1)の右の式に代入すると$1+a_2=a_2$となって矛盾する.$a_1=2$のとき,これを(1)の右の式に代入すると$a_2=2$となる.逆に$a_1=a_2=2$は(1)の2式を満たす.よって$a_1=a_2=2$となる.
\end{screen}
必要があれば上の解法を参考にして,自然数$a_1,\ a_2,\ a_3$が
\[ a_1 \leqq a_2 \leqq a_3,\quad a_1+a_2+a_3=a_1a_2a_3 \]
を満たすとき,$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ.
山口大学 国立 山口大学 2013年 第1問
$x>0,\ x \neq 1$を定義域とする次の$5$つの関数を考える.
\[ \frac{x^2+1}{2},\quad \frac{2x^2}{x^2+1},\quad x,\quad \left( \frac{x+1}{2} \right)^2,\quad \frac{x^2-1}{2 \log x} \]
このとき,次の問いに答えなさい.

(1)上の$5$つの関数の間に$[1]<[2]<[3]<[4]<[5]$の不等式が成立するとすれば,$[1]$から$[5]$にはどの関数が入るか.$x=2$を代入することによりそれらを決定しなさい.ただし,$\log 2=0.693 \cdots$とする.
(2)$[4]<[5]$の部分の不等式を証明しなさい.
(3)$[2]<[3]$の部分の不等式を証明しなさい.
小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2012年 第4問
$-1<x<1$を定義域とする関数$\displaystyle f_p(x)=\frac{x-p}{1-px}$,$\displaystyle f_q(x)=\frac{x-q}{1-qx}$ \ $(-1<p<1,\ -1<q<1)$について,次の問いに答えよ.

(1)定義域内のすべての$x$に対して,$-1<f_q(x)<1$を示せ.
(2)定義域内のすべての$x$に対して,$\displaystyle f_p(f_q(x))=\frac{x-r}{1-rx}$を満たすとき,$r$を$p$と$q$を用いて表し,$-1<r<1$を示せ.ただし,$f_p(f_q(x))$は$\displaystyle f_p(y)=\frac{y-p}{1-py}$に$y=f_q(x)$を代入したものを意味するものとする.
(3)定義域内のすべての$x$に対して,$f_p(f_q(x))=f_q(x)$を満たす$p$を求めよ.
千葉工業大学 私立 千葉工業大学 2012年 第2問
次の各問に答えよ.

(1)放物線$C:y=-x^2+4x+5$の頂点を$\mathrm{A}$とし,$C$と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{B}$とする.このとき,$\mathrm{A}([ア],\ [イ])$であり,$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$の方程式は$y=[ウエ]x+[オカ]$である.また,$C$の$0 \leqq x \leqq [ア]$の部分,$y$軸,および$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である.
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$a_1=-3$,$a_2=1$,
\[ a_{n+2}=-2a_{n+1}-4a_n \cdots\cdots① \]
で定める.このとき,
\[ a_{n+3}=-2a_{n+2}-4a_{n+1} \cdots\cdots② \]
であり,$②$に$①$を代入すると$a_{n+3}=[コ]a_n$となる.$b_n=a_{3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと,数列$\{b_n\}$は初項$[サシ]$,公比$[ス]$の等比数列であり,$b_n$が初めて$7$桁の数になるのは$n=[セ]$のときである.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.
成城大学 私立 成城大学 2012年 第2問
次の文章内の$[ア]$~$[コ]$に適当な式または数値を入れよ.ただし,$[ク]$~$[コ]$はそれぞれ$3$つの自然数の組である.

(1)$xy$平面上で,点$(-1,\ 0)$を通る傾き$t$の直線を考える.この直線が円$x^2+y^2=1$と点$(x,\ y)$(ただし,$x>0$,$y>0$)で交わるとき,$y$は$t$と$x$で,
\[ y=[ア] (ⅰ) \]
のように表される.この式を円の方程式$x^2+y^2=1$に代入して,$x$に関する$2$次方程式$[イ]=0$を得る.
この方程式を解いて,
\[ x=[ウ] (ⅱ) \]
を得る.また,式$(ⅰ)$から,
\[ y=[エ] (ⅲ) \]
となる.ただし,$t$の範囲は$0<t<[オ]$である.
(2)円$x^2+y^2=1$上の点$(x,\ y)$(ただし,$x>0$,$y>0$)の各座標がともに有理数であるとき,式$(ⅰ)$より$t$は有理数である.よって,$m,\ n$(ただし,$m>n$)を互いに素な自然数として$\displaystyle t=\frac{n}{m}$と表せば,式$(ⅱ)$,$(ⅲ)$より点$(x,\ y)$は
\[ x=\frac{[カ]}{m^2+n^2},\quad y=\frac{[キ]}{m^2+n^2} \]
と表される.
(3)等式$a^2+b^2=c^2$が成り立つような$3$つの自然数の組$(a,\ b,\ c)$(ただし,$a<b$)で,$a,\ b,\ c$の最大公約数が$1$,かつ$a<9$である組は
$(a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ [ク],\ [ケ],\ [コ]$の$4$つである.
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