$a$と$c$は実数で$a>0$とする．また，関数$f(x)$を次式で定義する．
\[ f(x)=(x^2+a)(x-a^2)^2-cx^2 \]

(1)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ．
今後，方程式$f(x)=0$が$3$個の異なる実数解を持つ場合のみを取り扱う．
(2)方程式$f(x)=0$の$3$個の異なる実数解を$a$を用いて表せ．
(3)$y=f(x)$のグラフのうち$f(x) \geqq 0$の部分と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．このとき$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S(a)}{a^5}$を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，内心を$\mathrm{I}$とし，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする．また直線$\mathrm{AI}$が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．

(1)線分$\mathrm{BD}$の長さを$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
今後，$a+b+c=1$とし，三角形$\mathrm{BGC}$の面積を$S$，三角形$\mathrm{BIC}$の面積を$T$とおく．
(3)$\displaystyle \frac{T}{S}$を$a$を用いて表せ．
(4)$b<a<c$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$のとりうる値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2012$年の$1$年間にある県を訪れた観光客の数は，前年$1$年間に比べて$8 \; \%$増加したという．今後も同じ割合で観光客の数が増えていくとした場合，初めて観光客の数が$2012$年の$2$倍以上になるのは何年後か．答えを整数で求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)下の図のような道がある．地点$\mathrm{A}$を出発して，さいころを投げて$5$以上の目が出れば上に$1$区画進み，$4$以下の目が出れば右に$1$区画進むことにする．ただし，進む道がないときは動かない．さいころを$7$回投げるとき，次の確率を求めよ．

(i) 地点$\mathrm{B}$に行き着く確率
(ii) 地点$\mathrm{C}$を経由して地点$\mathrm{B}$に行き着く確率
（図は省略）