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国立 豊橋技術科学大学 2012年 第2問$xy$平面上の点とベクトルに関する以下の問いに答えよ．
(1)図のように$x$軸の正の部分と$30^\circ$の角をなす直線上に$n$個の点（$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \cdots, \mathrm{A}_n$）を以下の規則で配置する．このときの$\mathrm{A}_n$の座標を$n$を用いて表せ．また$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}_1},\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}} \]
（図は省略）
(2)今度は$n$個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する．各線分は隣り合う線分と直角をなす．このとき$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．ただし，各線分の長さの関係は以下の規則に従うものとする．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}}| \]
（図は省略）
(1)図のように$x$軸の正の部分と$30^\circ$の角をなす直線上に$n$個の点（$\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \cdots, \mathrm{A}_n$）を以下の規則で配置する．このときの$\mathrm{A}_n$の座標を$n$を用いて表せ．また$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}_1},\quad \overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}} \]
（図は省略）
(2)今度は$n$個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する．各線分は隣り合う線分と直角をなす．このとき$n \to \infty$の場合における$\mathrm{A}_n$の座標を求めよ．ただし，各線分の長さの関係は以下の規則に従うものとする．
\[ \text{（規則）} \quad |\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}|,\quad |\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_n}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{A}_{n-2} \mathrm{A}_{n-1}}| \]
（図は省略）
私立 法政大学 2012年 第1問$0$から$3$までの数字が$1$つずつ書いてある$4$個の玉が入った袋がある．
(1)袋から$1$個の玉を取り出してそれに書かれた数を確認してから玉を袋に戻し，もう一度袋から$1$個の玉を取り出すとき，最初に取り出された玉に書かれた数と後に取り出された玉に書かれた数との積の期待値を求めよ．
(2)袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，それらに書かれた$2$個の数の積の期待値を求めよ．
(3)袋から$1$個の玉を取り出してそれに書かれた数$k$を確認してから玉を袋に戻し，今度は袋から$k$個の玉を同時に取り出すとき，最初に取り出された玉に書かれた数と後に取り出された玉に書かれた$k$個の数の，全部で$(k+1)$個の数の積の期待値を求めよ．ただし，$0$個の玉を取り出すとは玉を取り出さないこととし，$1$個の数の積とはその数のこととする．
(1)袋から$1$個の玉を取り出してそれに書かれた数を確認してから玉を袋に戻し，もう一度袋から$1$個の玉を取り出すとき，最初に取り出された玉に書かれた数と後に取り出された玉に書かれた数との積の期待値を求めよ．
(2)袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，それらに書かれた$2$個の数の積の期待値を求めよ．
(3)袋から$1$個の玉を取り出してそれに書かれた数$k$を確認してから玉を袋に戻し，今度は袋から$k$個の玉を同時に取り出すとき，最初に取り出された玉に書かれた数と後に取り出された玉に書かれた$k$個の数の，全部で$(k+1)$個の数の積の期待値を求めよ．ただし，$0$個の玉を取り出すとは玉を取り出さないこととし，$1$個の数の積とはその数のこととする．