次の問いに答えよ．

(1)$|x-2|+|x+3|<6$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=1$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)毎年$1$月の人口調査で，人口が前年の$98 \%$に減少していく都市がある．この都市の人口が，初めて今年の調査の$70 \%$以下になるのは何年後の調査のときか．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$として，答えは整数で求めよ．
(4)直線$y=2x$と放物線$\displaystyle y=x^2+4x+\cos 2\theta+\frac{1}{2} \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$がある．放物線に直線が接するときの$\theta$の値を求めよ．

今年$6$万円，来年$27$万円の収入がある人がいる．この人は黄金が大好きである．この人が，今年$s$万円，来年$t$万円の黄金を購入すると，$f=s^2t$で定められる満足度が得られるとする．この人が今年は$6$万円以下の黄金を購入した場合，来年は，残りの$(6-s)$万円と，$(6-s)$万円に対する$50 \%$の利息と，来年の収入の$27$万円をすべて合わせた金額だけ購入できる．一方，来年の収入から借りてきて今年の$6$万円と合わせて今年購入することもできるが，借りた金額の他に，借りた金額の$50 \%$だけ来年の収入が減るとする．ただし，$s,\ t$は$0$以上の実数とし，来年の収入から借りる金額は$18$万円を限度とする．また，収入と得られた利息は来年末までにはすべて黄金の購入に使うとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$s=2$のときの$f$の値と，$s=8$のときの$f$の値を求めなさい．
(2)$s$を用いて$t$を表しなさい．
(3)満足度$f$を最大にする$s$の値を求めなさい．なお，$f$の最大値は求めなくてよい．

今年から毎年初めに一定の金額$a$円を，複利法により一定の年利率$r$で積み立てるとする．今年から$n$年後の元利合計について次の問題に答えよ．

(1)今年の初めに預金する$a$円は，$1$年後いくらになるか．
(2)今年の初めに預金する$a$円は，$n$年後いくらになるか．
(3)来年の初めに預金する$a$円は，$n$年後いくらになるか．
(4)$n$年後の元利合計はいくらになるか．ただし，預金する回数は全部で$n$回とする．

年利率$0.05$，$1$年ごとの複利で借金をする．今年の年度初めに$1000$万円を借りた．$1$年後（今年の年度末）から返済を開始し，毎年，年度末に同じ金額を返済するものとする．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$1.05^7=1.407$，$1.05^8=1.477$，$1.05^9=1.551$，$1.05^{10}=1.629$として計算せよ．

（注）複利での借金とは次のようなものである．ある年の年度初めに年利率$r$で$A$円を借りると，$1$年後の借金は$A(1+r)$円になる．ここで$B$円を返すと，$1$年目の年度末の借金残額は$\{A(1+r)-B\}$円になるから，$2$年後の借金は$\{A(1+r)-B\}(1+r)$円になる．

(1)毎年，年度末に$100$万円を返済するとき，$1$年目の年度末の借金残額はいくらになるか．
(2)$10$年目の年度末に返済を完了するためには，毎年，いくらずつ返済すればよいか．ただし，最後の答は，一万円未満を切り捨てて，一万円までの概数で答えよ．
(3)毎年，年度末に$100$万円を返済するとき，借金残額が初めて$500$万円以下となるのは何年目の年度末か．